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petit exercice de suite
(Un) la suite définie pour tout entier n par : Un+1= 1 + 2/Un et
Uo=1.
1) on pose Wn=2-Un/1+Un
montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison q=-1/2. en déduire que
la suite (Wn) est convergente.
2) exprimer Un en fonction de Wn et en déduire la limite de la suite
(Un)
U(n+1)= 1 + 2/Un
W(n) = (2-U(n))/(1+U(n))
W(n+1) = (2-U(n+1))/(1+U(n+1))
W(n+1) = (2-1-(2/U(n)))/(1+1+(2/U(n)))
W(n+1) = (1-(2/U(n)))/(2+(2/U(n)))
W(n+1) = (1/2).(1-(2/U(n)))/(1+(1/U(n)))
W(n+1) = (1/2).(U(n)-2)/(U(n)+1)
W(n+1) = -(1/2).W(n)
Wn est donc une suite géométrique de raison -1/2.
Son premier terme est W(0) = (2-U(0))/(1+U(0))= 1/2
W(n) = (1/2).(-1/2)^n
lim(n->oo) W(n) = (1/2).lim(n->oo) [(-1/2)^n] = 0
W(n) converge vers 0.
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2)
W(n) = (2-U(n))/(1+U(n))
lim(n->oo) W(n) = lim(n->oo) [(2-U(n))/(1+U(n))]
0 = lim(n->oo) [(2-U(n))/(1+U(n))]
-> lim(n->oo) [2-U(n)] = 0
lim(n->oo) U(n) = 2.
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