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petit exo de suites !!! merci
on considère la suite définie par Uo=4 et pour tout n>=0, Un+1=Un/(1+3Un)
1) démontrer par récurrence pour tout n>=0 : Un>0
2) on considère la suite V définie par Vn=1/Un pour tout n>=0 : prouver
que V est une suite arithmétique et donner son premier terme
3) en déduire Vn puis Un en fonction de n
4) déduire le sens de variation et la limite de la suite Un
MERCI
- Question 1 -
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel,
un > 0 :
- au rang 0 :
u0 = 4 > 0
L'assertion est donc vraie au rang 0.
- Supposons qu'elle soit vraie au rang n et montrons qu'elle
l'est encore au rang n+1 :
un+1 = un / (1 + 3un)
Or, par hypothèse de récurrence, un > 0, donc :
1 + 3un > 0
D'où : un+1 > 0
L'assertion est donc encore vraie au rang n+1.
On a donc montré que un > 0 pour tout entier naturel.
- Question 2 -
vn+1 - vn =
1/un+ - /un =
(1+3un-1) / (un) =
3
La suite (vn) est une suite arithmétique de raison 3 et de
premier terme v0 = 1/4
- Question 3 -
Donc :
vn = v0 + n r
= 1/4 + 3n
Comme vn = 1/un, alors :
un = 1/ vn
= 1 / (1/4 + 3n)
= 4 / (12n + 1)
- Question 4 -
un+1 - un =
4/(12n+13) - 4/(12n+1) =
-48 / [(12n+13)(12n+1)]
Donc :
un+1 - un 
0
La suite (un) est donc décroissante.
lim (12n+1) = + 
donc
lim un = 0
(les limites sont étudiées en +)
Voilà, bon courage ...
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