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Petit exo : Suites !
On considère la suite définie par Uo=4 et pour tout n>=0, Un+1=Un/(1+3Un).
1) Démontrer par récurrence que pour tout n>=0, Un>0.
2) On considère la suite V définie par Vn=1/Un pour tout n>=0 : prouver
que V est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le
premier terme.
3) En déduire Vn puis Un en fonction de n.
4) En déduire le sens de variation et la limite de la suite Un.
MERCI BEAUCOUP !
1) pour n=0 Uo=4 >=0
supposons que Un>=0
Alors Un+1=Un/(1+3Un)>=0 puisque Un>=0 et Un+1>1>0
donc qq soit n>=0 Un>=0.
2) Vn+1= (1+3Un)/Un= (1/Un) + (3Un/Un)
= Vn +3
donc la suite Vn est une suite arithmétique de raison 3 et de premier
terme Vo=1/Uo=1/4.
3) Vn= 3(n+1)+Vo= 3(n+1)+1/4
Un= 1/(3(n+1)+1/4)
4) donc Un est strictement décroissante en n. Comme elle est positive
sa limite en -oo est 0.
Je vous remercie
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