Bonjour,
Alors voila j'ai lu dans mon cours que la valeur du produit scalaire ne dépendait pas du systeme de référence (je pense que système de référence veut dire base).
J'ai voulu le démontrer rapidement pour m'en persuader mais je n'ai pas réussi.
Avec la formule .=||*||*cos cela me semble évident mais je n'ai pas essayé.
J'ai un probleme avec l'autre formule:
Si on considère 2 vecteurs au hasard =(1,2,3) et =(4,5,6), le produit scalaire sera .=1*4+2*5+3*6=4+10+18=32.
Ceci étant dans la base e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1).
Si on opère maintenant un changement de base, on prend les vecteurs e1'=(1,2,3) e2'=(4,5,6) et e3'=(7,8,10). J'ai verifié ces trois vecteurs e1' e2' e3' forment bien une base de R³.
On écrit alors les vecteurs et dans cette base ce qui nous donne '=(1,0,0) et '=(0,1,0).
On calcule alors le produit scalaire comme précédement et on obtient '.'=0
Or on se rend bien compte ici que 320.
Je me suis posé la question de savoir si il falait normer la base et la reponse semble etre oui mais dans le cas ci dessus cela ne change rien on a toujours 32 et 0.
J'ai ensuite essayé avec une base differente des 2 vecteurs (cad que les vecteurs qui la forme ne sont pas condonfus avec les vecteurs et ):
Soit e1"=(2,1,0) e2"=(3,2,1) et e3"=(0,0,1) qui après vérification forment bien une base de R³. On écrit les vecteurs et dans cette base. Sauf erreur cela nous donne "=(-4,3,0) et "=(-7,6,0). On calcule le produit scalaire ce qui nous donne "."=4*7+3*6=28+18=36 et encore une fois 3632. Et même si on normalise les vecteurs qui forment la base on obtient "."=1/(514)*36 ce qui n'est toujours pas égal a 32.
Alors est ce que ce que nous a dit le prof, à savoir que la valeur d'un produit scalaire ne dépend pas du système de référence ne sapplique que dans une base orthogonale et normée, ou est ce que je n'ai rien compris à cette histoire?
Merci d'avance!