Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Petit problème d inégalité...

Posté par arf (invité) 23-02-05 à 18:33

Bonjour,

Voilà j'ai un petit problème je n'arrive pas à montrer une inégalité, voici la question posée :

1) Montrer que pour tout réel a-1 et tout entier n,\left( {1 - a} \right)^n\ge 1 + na (J'y suis arrivé).

2) A l'aide de la question précédente, montrer que pour tout entier naturel n et tout k \in \left[\left[ {0,n} \right]\right],
\left( {n + 1} \right)^{k - 1} \left( {n + 1 - k} \right) \le n^k

3) Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* et tout k \in \left[ {\left[ {0,n} \right]} \right],
\left( {\matrix{n\cr k\cr} } \right){1 \over {n^k }} \le \left( {\matrix{{n + 1}\cr k\cr} } \right){1 \over {\left( {n + 1} \right)^k }}

Si quelqu'un pouvait m'aider ou me donner une piste pour les questions 2 ou 3, ça serait super sympa

Allez @ bientôt.

Posté par jean-émile (invité)re : Petit problème d inégalité... 24-02-05 à 07:37

Bonjour ,

Il y a un problème avec la première question. es-tu certain de ton énoncé ?

Posté par arf (invité)re : Petit problème d inégalité... 25-02-05 à 00:07

Euh oui, effectivement désolé pour la faut de frappe, pour la première question c'est 1+a et non 1-a dans le membre gauche de l'inégalité... Désolé.

Merci tout de même par avance si quelqu'un peut m'aider à résoudre ce problème

Posté par
franzre : Petit problème d inégalité... 25-02-05 à 01:26

2/

           \array{ \vspace{15} 1 & \ge & \(1-\frac 1 {n^2}\) \\ \vspace{15} & \ge & \(1-\frac 1 {n^2}\)^{k-1} \\ \vspace{15} & \ge & \(1-\frac 1 {n}\)^{k-1} \(1+\frac 1 {n}\)^{k-1} \\ \vspace{15} & \ge & \(1-\frac {k-1} {n}\) \(1+\frac 1 {n}\)^{k-1} \\ \vspace{15} & \ge & \frac {n+1-k} {n} \, \(\frac {n+1} {n}\)^{k-1}

On y est


3/

\left( {n + 1} \right)^{k - 1} \left( {n + 1 - k} \right) \le n^k

donc

\array{ \( \array{\vspace{10}n \\ k} \)\, \frac 1 {n^k } & \le & \( \array{\vspace{10}n \\ k} \)\, \frac 1 {n+1-k} \, \frac 1 {(n+1)^{k-1} } \\ \vspace{20} & \le & \frac {n!} {k! \,(n-k)!} \, \frac 1 {n+1-k} \, \frac {n+1} {(n+1)^k } \\ \vspace{20} & \le & \frac {(n+1)!} {k! \,(n+1-k)!}\; \frac 1 {(n+1)^k } }

Posté par arf (invité)re : Petit problème d inégalité... 25-02-05 à 02:58

Un très grand merci à toi! Vraiment super sympa de ta part de m'avoir aidé

Posté par
franzre : Petit problème d inégalité... 28-02-05 à 20:54

avec plaisir


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !