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Niveau terminale
petit problème de maths pour demain
Posté par Oyonnax (invité)
Soit C un cercle de rayon 4 cm. Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C ?.
Je vois pas du tout comment faire... Je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pouvez m'apporter.
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
salut
soit O le centre du cercle.ABCD le rectangle en question.
les sommets sont sur le cercle =>[AC] et [BD] diametres.=> O milieu de [AC] et [BD] => O centre du rectangle ABCD.
AC=BD=4.
soit x=AB.
ABC est rectangle en B.
d'apres theoreme de Pythagore :
AB^2+BC^2=AC^2=16
donc BC=(16-x^2)^(1/2)
soit S l'aire de ABCD :
S(x)=AB*BC=x*(16-x^2)^(1/2)
x allant de 0 a 4.
reste a etudier S sur [0,4]
S'(x)=(16-x^2)^(1/2)-x^2/[(16-x^2)^(1/2)]
S'(x)=(16-2x^2)/[(16-x^2)^(1/2)]
S'(x)=0 <=> 16-2x^2=0 <=> 2*(2*2^(1/2)-x)*(2*2^(1/2)+x)=0
n'oublions pas que x est dans [0,4]
S'(x)=0 <=> x=2*[2^(1/2)]
on vient de voir que la derivee s'annule pour une valeur de x. reste a voir si pour cette valeur S(x) est un maximum.
S'(x)>0 <=> 2*(2*2^(1/2)-x)*(2*2^(1/2)+x)>0,x dans [0,4] <=> x dans [0,2*2^(1/2)]
S'(x)<0 <=> x dans [2*2^(1/2),4]
tu peux faire un tableau de variation de S pour resumer tout cela si tu veux.
conclusion S(2*2^(1/2)) est le maximum de S definie sur [0,4].
reste a calculer S(2*2^(1/2)=8
conclusion l'aire maximale est de 8 cm^2.
a+
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
pas tout a fait juste ce que j'ai dis :
soit O le centre du cercle.ABCD le rectangle en question.
les sommets sont sur le cercle =>
OA=OB=OC=OD=2 cm.
O est sur la mediatrice de [AC] car OA=OC.
O est sur la mediatrice de [BD] car OB=BD.
la mediatrice de [AC] c'est (BD) car on est dans un rectangle et les diagonales se coupent en leurs milieux (parallelogramme) et sont perpediculaires(rectangle).
donc O sur [BD].
O est sur [BD] et sur la mediatrice de [BD] => O milieu de [BD].
conclusion : O centre de symetrie du rectangle ABCD.
(ouf, c'est deja un peu plus juste).
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
et non c'est encore faux.on est dans un rectangle, les diagonales ne sont pas perpendicaulaires.
je refais ma reponse.
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
je reposte entierement ma reponse : on y verra plus claire :
soit O le centre du cercle.ABCD le rectangle en question.
les sommets sont sur le cercle
=> OA=OB=OC=OD=2
OA=OB => O est sur la mediatrice de [AB] appelons la D1.
comme ABCD rectangle (AB) perpendiculaire a (BC)
donc D1 // (BC) donc d'apres le thoereme de la droite des milieux applique a ABC, D1 coupe en (AC) en son milieu.
OB=OC => O est sur la mediatrice de [BC] appelons la D2.
(AB) perpendiculaire a (BC) donc D2 // (AB).d'apres le thoereme de la droite des milieux applique a ABC, D2 coupe en (AC) en son milieu.donc D1 inter D2 = milieu de [AC]
or O est sur D1 et D2 donc O=D1 inter D2.
donc O milieu de [AC].
donc AC=2*OA=4.
et comme ABCD est un rectangle AC=BD.
donc AC=BD=4
soit x=AB.
ABC est rectangle en B.
d'apres theoreme de Pythagore :
AB^2+BC^2=AC^2=16
donc BC=(16-x^2)^(1/2)
soit S l'aire de ABCD :
S(x)=AB*BC=x*(16-x^2)^(1/2)
x allant de 0 a 4.
reste a etudier S sur [0,4]
S'(x)=(16-x^2)^(1/2)-x^2/[(16-x^2)^(1/2)]
S'(x)=(16-2x^2)/[(16-x^2)^(1/2)]
S'(x)=0 <=> 16-2x^2=0 <=> 2*(2*2^(1/2)-x)*(2*2^(1/2)+x)=0
n'oublions pas que x est dans [0,4]
S'(x)=0 <=> x=2*[2^(1/2)]
on vient de voir que la derivee s'annule pour une valeur de x. reste a voir si pour cette valeur S(x) est un maximum.
S'(x)>0 <=> 2*(2*2^(1/2)-x)*(2*2^(1/2)+x)>0,x dans [0,4] <=> x dans [0,2*2^(1/2)]
S'(x)<0 <=> x dans [2*2^(1/2),4]
tu peux faire un tableau de variation de S pour resumer tout cela si tu veux.
conclusion S(2*2^(1/2)) est le maximum de S definie sur [0,4].
reste a calculer S(2*2^(1/2)=8
conclusion l'aire maximale est de 8 cm^2.
Posté par Oyonnax (invité)re
moi je trouve 16cm^2 d'aire car vous dites ke AC=BD=4 mais 4 c'est le rayon donc pour le diamètre faut multiplier par 2 AC=BD=8. donc ca change tout. Dites moi si je me trompe.
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
non j'ai montre que la longueur d'une diagonale est 4 cm.
a partir de cette diagonale, il faut trouver les longueurs de deux cotes consecutifs.
c'est pour ca que j'en appelle un x que j'exprime a l'aide du theoreme de Pytagore le deuxieme en fonction de x.
aire du rectangle longueur d'un cote* longueur d'un cote consecutif.
puis j'ai S(x)=...
je veux l'aire maximale donc j'etudie cette fonction...
16 cm^2 c'est l'aire d'un carre de 4 cm (rien a voir avec notre exo).
remarque :
l'aire du disque definie par le cercle C est Pi*2^2=4*Pi et.
le rectangle etant dans le cercle son aire est inferieure a 4*PI<16. on ne peut donc trouver 16.
relis mon dernier post.
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
AC et BD sont les DIAGONALES du rectangle.
l'aire d'un rectangle N'est PAS le produit de leurs longeurs.
par contre j'ai refais une erreur quand j'ai lu ton post j'ai cru que le diametre faisait 4 cm.
non c'est le rayon.
donc : prochain post correction de cette erreur.
Posté par minotaure (invité)re : petit problème de maths pour demain
soit O le centre du cercle.ABCD le rectangle en question.
les sommets sont sur le cercle
=> OA=OB=OC=OD=4
OA=OB => O est sur la mediatrice de [AB] appelons la D1.
comme ABCD rectangle (AB) perpendiculaire a (BC)
donc D1 // (BC) donc d'apres le thoereme de la droite des milieux applique a ABC, D1 coupe en (AC) en son milieu.
OB=OC => O est sur la mediatrice de [BC] appelons la D2.
(AB) perpendiculaire a (BC) donc D2 // (AB).d'apres le thoereme de la droite des milieux applique a ABC, D2 coupe en (AC) en son milieu.donc D1 inter D2 = milieu de [AC]
or O est sur D1 et D2 donc O=D1 inter D2.
donc O milieu de [AC].
donc AC=2*OA=8.
et comme ABCD est un rectangle AC=BD.
donc AC=BD=8
soit x=AB.
ABC est rectangle en B.
d'apres theoreme de Pythagore :
AB^2+BC^2=AC^2=64
donc BC=(64-x^2)^(1/2)
soit S l'aire de ABCD :
S(x)=AB*BC=x*(64-x^2)^(1/2)
x allant de 0 a 8.
reste a etudier S sur [0,8]
S'(x)=(64-x^2)^(1/2)-x^2/[(64-x^2)^(1/2)]
S'(x)=(64-2x^2)/[(64-x^2)^(1/2)]
S'(x)=0 <=> 64-2x^2=0 <=> 2*(4*2^(1/2)-x)*(4*2^(1/2)+x)=0
n'oublions pas que x est dans [0,8]
S'(x)=0 <=> x=4*[2^(1/2)]
on vient de voir que la derivee s'annule pour une valeur de x. reste a voir si pour cette valeur S(x) est un maximum.
S'(x)>0 <=> 2*(4*2^(1/2)-x)*(4*2^(1/2)+x)>0,x dans [0,8] <=> x dans [0,4*2^(1/2)]
S'(x)<0 <=> x dans [4*2^(1/2),8]
tu peux faire un tableau de variation de S pour resumer tout cela si tu veux.
conclusion S(4*2^(1/2)) est le maximum de S definie sur [0,8].
reste a calculer S(4*2^(1/2)=32
conclusion l'aire maximale est de 32 cm^2.
ps dans un de mes derniers messages j'ai ecris que l'aire <16 non c'est pour rayon =2.rien a voir ici.