Si f est une fonction indéfiniment dérivable sur R, on définit les dérivées successives de f:
•f(0)=f
•f(1)=f'
•f(2)=f''
• pour n € N, f(n+1) = (f(n))'
On considère la fonction G définie sur R par G(x)=xe^x
On considère la suite (Un) définie pour x€R par: Un(x) = G(n)(x) [lire dérivée nième de G calculée en x).
L'affirmation suivante est elle vraie pi fausse ?
Quel que soit n € N et quel que soit x€ R, on a : Un(x)= (x+n)e^x
À partir de là j'ai deux questions
1) j'ai fait un raisonnement par récurrence, l'initialisation se passe sans problème mais pour l'hérédité j arrive à ça :
Uk+1(x)= G(k+1)
Uk+1 (x) = xe^x +(k+1)e^x
Or je ne sais pas comment justifier mon passage d'une ligne à l'autre autrement que par dire que pour chaque dérivation on rajoute e^x ce qui est justement ce que l'on cherche à prouver ...
2) Peut on dire qu'une suite est arithmétique de raison e^x ? Alors que e^x n'est pas constant ...
Merci beaucoup d'avence !
Bonjour,
Pour calculer Uk+1(x) il te suffit de dériver (x+k)e^x qui donne e^x+(x+k)e^x
Ensuite il te suffit de mettre e^x en facteur pour montrer l'hérédité.
Si f est une fonction indéfiniment dérivable sur R, on définit les dérivées successives de f:
•f(0)=f
•f(1)=f'
•f(2)=f''
• pour n N, f(n+1) = (f(n+1))'
On considère la fonction G définie sur R par G(x)=xe^x
On considère la suite (Un) définie pour xR par: Un(x) = G(n)(x) [lire dérivée nième de G calculée en x).
L'affirmation suivante est elle vraie ou fausse ?
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