Posons y = x - a  (a est entier)

x³ - (x - a)³ = 127
x³ - (x³ + 3a²x - 3ax² - a³) = 127
3ax² - 3a²x + a³ - 127 = 0

x = [3a² +/- V(9a² - 12a(a³ - 127)] / 6a    avec V pour racine carrée.

x = [3a² +/- V(1524a-3a^4)] / 6a   (1)

1524a -  3a^4 = a(1524 - 3a³) > 0 pour 0 < a < 8

On essaie dans (1) toutes les valeurs de a entier pour 0 < a < 8
Seul a = 1 est tel que 1524a-3a^4 est un carré et donc (1) -> avec a =
1:

x = [3 +/- V(1521)] / 6
x = (3 +/- 39)/6

x = 7  ->  y = 6
x = -6  ->  y = -7

Comme x et y doivent être des entiers naturels, le seul doublet solution
est:  x = 7 ; y = 6
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Sauf distraction.  

x^3-y^3=(x-y)(x²+xy+y²)=127
on a donc, comme 127 est premier :
x-y=1
x²+xy+y²=127

y=x-1
et
x²+x(x-1)+(x-1)²=127

par substitution :
x²+x²-x+x²-2x+1=127
3x²-3x=126
x²-x=42
x(x-1)=42

la seule solution est x=7, et donc y=6