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petit problème sur les suites
bonjour à tous! je viens chercher votre aide pour une ou deux question d'un exercice:
u est la suite définie par u0= 2 et pour tout entier naturel n, un+1= 4-(3/un)
1-démontrer par récurrence que pour tout n appartenant aux entiers naturels, 2<ou= un >ou=3
2-démontrer que la suite u est convergente
Voilà les deux questions qui me posent problème car la première je trouve un compris entre 2.5 et 3, donc c'est pas tout à fait ce qu'on veut et la deuxième ma prof dit que l'on doit obtenir une équations du second degrès et calculer le discriminant ...
ps: dans les premières questions il nous était demandé de tracer la droite d'équation y=x et la courbe c représentant la fonction f définie sur ]0; +oo[ par f(x)= 4-(3/x)
merci beaucoup !
Bonjour yoye,
si tu est arrivé à montrer que 2,5
Un3
alors à fortiori on a l'inégalité qu'il t'est demandé puisque 22,5Un3
Pour la deuxième question on va essayer de voir si la fonction est monotone c'est à dire si elle est tout le temps croissante ou toutle temps décroissante.
Un+1-Un=1= 4-3/Un-Un=(4Un-3-Un²)/Un
comme Un est toujours positif tu l'a montré dans la question précédente le signe de Un+1-Un dépend uniquement du signe du polynome -Un²+4Un-3
-Un²+4Un-3=-(Un²-4Un+3)=-(Un-1)(Un-3)
comme Un est compris entre 2 et 3 on sait que Un-1 sera positif et que Un-3 est négatif donc le polynôme en question pour les différentes valeurs de Un est positif.
De là on endéduit que pour tout n, Un+1-Un
0 et donc que la suite (Un) est croissante.
La suite (Un) étant croissante et majorée par 3 on en déduit que la suite (Un) est convergente.
Sauf erreur grossière.
Salut
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