Niveau BTS

Petit soucis avec les vecteurs propres

Posté par
Noixdepomme 07-06-14 à 18:58

Bonjour à tous,

Après une heure à tourner en rond j'ai décidé de venir chercher de l'aide sur le forum :

Petit soucis avec les vecteurs propres

Je ne comprends pas du tout comment on obtient le résultat donc si quelqu'un peut m'expliquer je lui en serais très reconnaissant

Merci

Posté par re : Petit soucis avec les vecteurs propres 07-06-14 à 19:03

Bonjour.

À gauche, on a une colonne qui vaut (X1+2X2 ; 2X1+4X2) (je note en ligne mais ça devrait être en colonne).
Cette colonne est égale à (0;0).
Donc X1+2X2=0 et 2X1+4X2=0
Ces deux équations sont en fait les mêmes. En effet, il suffit de multiplier la première par 2 pour retrouver la 2ème.

Ainsi, si l'on note k=X2, alors X1=-2X2=-2k

D'où X=(-2k ; k), où X est le vecteur (X1;X2). Tu as écrit X1 mais c'est X.

Posté par re : Petit soucis avec les vecteurs propres 07-06-14 à 19:06

Bonsoir,

$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X_1\\X_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1+2X_2\\2X_1+4X_2\end{pmatrix}$

on résout donc le système
$\\ \begin{cases}X_1+2X_2=0\\2X_1+4X_2=0\end{cases}$

Il est immédiat qu'il est équivalent à

$X_1+2X_2=0$

c'est à dire

$X_1=-2X_2$

Ensuite on pose $X_2=k$