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Petit théorème de Fermat

Posté par
Kerys 15-05-14 à 02:19

J'ai bien aimé le topic de Jamo ici:

Un exercice et 14 méthodes

J'ai toujours trouvé très attrayante l'idée de chercher une foultitude de démonstrations différentes d'un même résultat.

Je vous propose la même chose, mais concernant le petit théorème de Fermat.

Combien de démonstrations différentes pourons-nous trouver ?

Une première démonstration:

On commence par démontrer à titre de lemme que si $a$ et $b$ sont deux entiers, et
$p$ un nombre premier, alors $(a+b)^p \equiv a^p +b^p \,\,[p]$ . Ceci résulte de la formule du binôme, et de ce que pour $k\in \{1\cdots p\}$
on a $k!\binom{p}{k} = p.(p-1)\cdots(p-k+1)$ de sorte que $p$ divise $k!\binom{p}{k}$ . Etant premier avec $k!$ , il divise donc $\binom{p}{k}$ d'où le lemme.

Ceci acquis, on démontre par récurrence sur $a$ que, pour tout naturel $a$ , $a^p\equiv a\,\,[p]$ . La propriété est vraie pour $a=0$ . Et si elle est vraie pour $a\geq 0$ , comme $(a+1)^p\equiv a^p+1 \,\,[p]$ de part le lemme, et que $a^p\equiv a\,\,[p]$ via la propriété de récurrence, on a bien $(a+1)^p\equiv a+1 \,\,[p]$ ce qui achève la démonstration.

Une deuxième démonstration:

l'égalité $a^p\equiv a \,\,[p]$ est vraie pour $a\equiv 0 \,\,[p]$ . Supposons maintenaht que $a$ ne soit pas un multiple de $p$ . Celui-ci étant un entier premier, $a\wedge p=1$ .
Dans ces conditions, les entiers $a, 2a,\cdots, (p-1)a$ sont distincts modulo $p$ (sinon il existerait $k$ et $k'$ distincts dans $\{1\cdots (p-1)\}$ tels que $(k-k')a\equiv 0 \,\,[p]$ ce qui imposerait que $a$ soit un multiple de $p$ ). Ainsi, l'ensemble $A=\{\overline{ka}, 1\leq k\leq p-1\}$ est de cardinal $p-1$ et ne contient pas $\bar{0}$ . Donc $A=\{\bar{q}, 1\leq q\leq p-1\}$ , et de ce fait:
$\prod_{k=1}^{p-1}ka \equiv \prod_{q=1}^{p-1}q`\,\,[p]$ .

Par conséquent:
$(p-1)!a^{p-1} \equiv (p-1)! \,\,[p]$ , d'où l'on tire $a^{p-1}\equiv 1 \,\,[p]$ .

Une idée de troisième démonstration:

Inspirée de la première, mais où l'on utilise la formule du multinôme pour $a^p= (1+1+\cdots+1)^p$ .

Une idée de quatrième démonstration:

Définir l'indicatrice d'Euler $\phi$ , montrer que si $a\wedge n=1$ alors $a^{\phi(n)} \equiv 1\,\,[p]$ et conclure en remarquant que pour $p$ premier, $\phi(p)=p-1$ ...

Qui complète/poursuit (il paraît qu'il existe au moins 100 démonstrations...) ?

Posté par re : Petit théorème de Fermat 15-05-14 à 11:09

Bonjour,

j'aime bien la deuxième démonstration qui consiste à calculer un même produit de deux façons différentes, ça ma fait penser à une preuve élégante (et courte) pour montrer que $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}$ dans la loi de réciprocité quadratique.

Pour ce qu'il s'agit du petit théorème de Fermat, voilà une preuve élémentaire axée sur les groupes, mais rien de très original non plus...

Si $a\wedge p=1$ , $\bar{a}$ est dans le groupe multiplicatif d'ordre $p-1,\ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ . Le théorème de Lagrange indique alors que l'ordre de $\bar{a}$ divise $p-1$ , d'où :

$\bar{a}^{p-1}=\bar{1}=\overline{a^{p-1}}\ \Leftrightarrow\ a^{p-1}\equiv1\pmod p$ .