Bonsoir ;

As-tu commencé l'exercice ? Qu'est-ce qui te bloque ?

salut
d'apres le petit theoreme de fermat  a^31 = a[31]  alors  a^31- a = 0[31]
qui s'ecrit aussi : a^31- a = 31.q   en multipliant membre à membre par 2 il vient  :

( a^31- a) +  (a^31- a) = 62.q    puisque q est entier relatif  il faut forcement que  62 divise chaque terme dela somme dans le membre de gauche et donc a^31-a =0[62]

Tu aurais aussi pu raisonner ainsi :
d'après le petit théorème de Fermat, 31 divise a ³¹ - a
Pour tout n entier, a ⁿ a modulo 2 (démontrable par récurrence) donc 2 divise a ³¹ - a

2 et 31 sont premiers entre eux donc 2 31 divise a ³¹ - a
donc a ³¹ - a est divisible par 62

Si n 1, a ^{30 + n} - a ⁿ = a ^{n - 1} (a ³¹ - a)
31 est un nombre premier donc 31 divise a ³¹ - a donc 31 divise a ^{n - 1} (a ³¹ - a)
2 divise a ³¹ - a donc divise a ^{n - 1} (a ³¹ - a)
2 et 31 sont premiers entre eux donc 2 31 divise a ^{30 + n} - a ⁿ
donc a ^{30 + n} - a ⁿ est divisible par 62

Si n = 0, a ^{30 + n} - a ⁿ = a ³⁰ - 1, la propriété est fausse.
si a est pair,  a ³⁰ - 1 est impair donc n'est pas divisible par 2 donc pas par 62.