Bonjour,

1) d' après Fermat.

  Montre que est multiple de 6.

Je n'arrive pas à montrer que n⁷-n est un multiple de 6 :/ , pouvez vous me donner une indication s'il vous plait ?

Par exemple:



, et sont 3 nombres consécutifs; l' un au moins est pair et l' un est multiple de 3.

Donc est multiple de ainsi  que

J'ai essayé de rédiger une correction répétitive
1. 42 = 2 × 3 × 7, étudions donc la division par 7 puis par 2 puis par 3 de n ⁷   - n
n ⁷   - n = n (n ⁶   - 1) = n (n ³   - 1) (n ³   + 1)
D'après le petit théorème de Fermat, 7 est un nombre premier donc pour tout n appartenant à Z : n ⁷   ≡ n [7]

Si n est pair, n ≡ 0 [2] donc n (n ³   - 1) (n ³   + 1) ≡ 0 [2]
Si n est impair : n ≡ 1 [2] donc n ³   ≡ 1 [2] donc n ³   - 1 ≡ 0 [2] donc n (n ³   - 1) (n ³   + 1) ≡ 0 [2]
Dans tous les cas 2 divise n ⁷   - n

7 et 2 divisent n ⁷   - n et 7 et 2 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 7 × 2 divise n ⁷   - n

Si n ≡ 0 [3] alors n (n ³   - 1) (n ³   + 1) ≡ 0 [3]
Si n ≡ 1 [3] donc n ³   ≡ 1 [3] donc n ³   - 1 ≡ 0 [3]  alors n (n ³   - 1) (n ³   + 1) ≡ 0 [3]
Si n ≡ 2 [3] alors n ≡ - 1 [3] donc n ³   ≡ (- 1) 3 [3] donc n ³   + 1 ≡ 0 [3]  alors n (n ³   - 1) (n ³   + 1) ≡ 0 [3]
Dans tous les cas 3 divise n ⁷   - n
14 et 3 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 14 × 3 divise n ⁷   - n soit 42 divise n ⁷   - n donc pour tout n appartenant à Z : n ⁷   ≡ n [42]


2. 60 = 4 × 3 × 5 étudions donc la division par 5 puis par 3 puis par 4 de n ² (n ² - 1) (n ² + 1)
D'après le petit théorème de Fermat, 5 est un nombre premier donc pour tout n appartenant à Z : n ⁵   ≡ n [5]
or n ⁵   - n = n (n ⁴   - 1) = n (n ²   - 1) (n ²   + 1) donc 5 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1)

D'après le petit théorème de Fermat, 3 est un nombre premier donc pour tout n appartenant à Z : n ³   ≡ n [3]
n ³   - n = n (n ²   - 1) donc 3 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1)
5 et 3 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 5 × 3 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) soit 15 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1)

Soit n un entier relatif quelconque, on a 4 cas :
n ≡ 0 [4] donc n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) ≡ 0 [4]
n ≡ 1 [4] donc n ²   - 1 ≡ 0 [4] donc n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) ≡ 0 [4]
n ≡ 2 [4] donc n ²   ≡ 4 [4]soit n ²   ≡ 0 [4] donc n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) ≡ 0 [4]
n ≡ 3 [4] donc n ≡ - 1 [4] donc n ²   ≡ 1 [4] donc n ²   - 1 ≡ 0 [4]  donc n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) ≡ 0 [4]
dans tous les cas n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) ≡ 0 [4] soit 4 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1)

15 et 4 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 15 × 4 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1)
donc  60 divise n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) soit pour tout n de Z, n ²   (n ²   - 1) (n ²   + 1) ≡ 0 [60]