Bonjour,
Je bloque à une question. Ici l'énoncé :
Soit p un nombre premier. Soit à un nombre naturel avec a supérieur ou égal à 2, tel que p ne divise pas a. On considère les multiples de a : a, 2a, ..., ka, ..., (p-1)a.
La question :
Existe-t-il dans cette suite un multiple de p ?
Ma réponse :
Supposons qu'il existe un entier naturel k tel que ka = k'p (avec ka appartenant aux multiples précédemment cités) avec k' un entier naturel.
Or pgcd(a;p) = 1 (car p ne divise pas a et p un nombre premier)
Et p divise ka (car ka=k'p d'après la supposition)
Donc d'après le théorème de Gauss :
p divise k.
Cela implique donc que k est supérieur ou égal à p.
Or les multiples cités plus haut sont strictement inférieurs à pa.
Donc ka appartenant aux multiples n'existent pas. Donc il n'existe pas de multiple de p dans la suite.
Merci de votre aide.