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petite égalité à démontrer

Posté par flopiflopa (invité) 15-09-05 à 18:38

Je dois prouver que  pi/4 = 4 Arctan 1/5 - Aractan 1/239
Je dois dire que je suis complètement incapable de ne serait ce que commencer.
Si quelqu'un avait une piste, ca serait sympa

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:petite égalité à démontrer 15-09-05 à 19:56

Bonjour flopiflopa,une idée:
tu poses \fbox{a=arctan(\frac{1}{5})\\b=arctan(\frac{1}{239})} aprés tu localises 4a+b remarques par exemple que 0<\frac{1}{5}<\frac{1}{sqrt3} et donc que 0<a<\frac{\pi}{6} de m^me 0<\frac{1}{239}<\frac{1}{sqrt3} d'où 0<b<\frac{\pi}{6} d'où 0<4a+b<\frac{5\pi}{6}<\pi
si tu arrives à montrer que tan(4a+b)=1 ce sera gagné car l'unique réel de ]0,\pi[ dont la tangente vaut 1 est \frac{\pi}{4}.

Posté par
piepalmre : petite égalité à démontrer 15-09-05 à 19:58

Il suffit de prouver que tan(4arctan(1/5)-arctan(1/239))=1
sachant que tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb), que tan(2a)=2tana/(1-(tana)^2, il n'y a plus qu'à calculer tan(4a), puis, etc...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:petite égalité à démontrer 15-09-05 à 20:04

je me rends compte que j'ai plutot 4a-b,mais la stratégie demeure la m^me vu l'encadrement
-\frac{\pi}{6}<4a-b<\frac{4\pi}{6} et vu que dans ]-\frac{\pi}{6},\frac{4\pi}{6}[ l'unique solution de tan(x)=1 est \frac{\pi}{4}.
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