Bonjour,

Je trouve :

S = { (1,1) ; (27,3) ; (16,2) }

peut-être, y en a-t-il d'autres...

Philoux

Re

J'ai procédé ainsi :

y²lnx=xlny

je suis parti du fait que si cette équation se resoud avec des entiers, il faut que :
soit lnx = k lny avec k entier
soit lny = k'lnx avec k' entier

cas lnx=klny => x=y^k
y²k=x=y^k
y^k - y²k=0
y²(y^(k-2) - k)=0
y^(k-2)=k
puis j'ai fait varier k=1àn
k=1 => y^(-1)=1 => y=1 ça marche
k=2 =>y^0=2 impo.
k=3 => y=3 ça marche
k=4 => y²=4 => y=2 ça marche
k=5 => y^3=6 non et comme dès cette valeur y sera toujours<2 plus la peine de continuer.

donnons ici les solutions pour ce cas :
k=1 => y=1 et x=y^k=1
k=3 => y=3 et x=y^k=27
k=4 => y=2 et x=y^k=16

cas lny=k'lnx => y=x^k'
y²=k'x => x^(2k')=k'x
x^(2k') - k'x=0
x(x^(2k'-1) - k')=0
x^(2k'-1)=k'
puis j'ai fait varier k'=1àn
k'=1 => x^(1)=1 => x=1 ça marche (déjà trouvé)
k'=2 =>x^3=2 impo. et comme dès cette valeur x sera toujours<2 plus la peine de continuer.

Le premier cas donnait toutes les solutions.

Je ne sais pas si mon raisonnement en as oublié ?

Philoux

salut clemclem et bonjour à tous :

alors :


<=>

<=>

<=>


et là, je prend ma calculatrice, et je regarde les valeurs pour lesquels ça marche ...

J'ai trouvé uniquement 3 couples solutions, mais il y en a peut-être plus : ( 1 ; 1 ) ; ( 16 ; 2 ) ; ( 27 ; 3 )

mais il y en a peut-être plus !

* image externe expirée *

merci pour l'enigme !

lyonnais

Chapeau Clemclem, ta petite énigme .. pour une "deux étoiles" , je l'ai trouvée costaud !!

Je suppose dans ce problème que 0⁰ n'est pas défini.

Si x=y , on doit avoir x² = x, donc x = y =1  
   Solution évidente

Si x différent de y , en prenant le logarithme, on a  y² ln(x) = xln(y)
1/x *ln(x) = (1/2y²)*ln(y²)
1/x *ln(x) < (1/y²)*ln(y²)
On constate que la fonction 1/x *ln(x) est décroissant pour x>e.
donc x>y²
ln(x)/ln(y)  = x/y² = q rationnel q avec q>1

ln(x)/ln(y)  = q donc x= y^q
x = q*y²=y^q
y(q-2) =q
y = q^(1/(q-2))
x = q*y² = q^(q/(q-2))


Je vais étudier le caractère entier de y

Si q compris entre 1 et 2 (q différent de 2 pour que l'exposant soit défini), l'exposant est négatif, or l'inverse de  q est également rationnel pur dans ce cas.
Si q compris entre 2 et 3(exclus), l'exposant est positif et q est rationnel pur.
Or, il est impossible qu'un nombre rationnel pur élevé à une puissance rationnelle donne un entier.

Si q=3 y = 3 et x =27
Si q=4 y =2 et x = 16
Ensuite la fonction Y = q^(1/(q-2)) étant décroissante et ayant pour limite 1 si q tend vers +l'infini, il n'a plus de possibilités de valeurs entières pour y , donc pour x.

En conclusion les trois seuls couples possibles pour (x,y) sont (1,1), (27,3) et (16,2)

Hello,

Il y a 3 couples possibles:

(1;1)
(16;2)
(27;3)

* image externe expirée *
Severus

il y a qu une solution (1,1)

PS:je pas bien convaincu ms bon

(1,1) (16,2) (27,3)

J'exclus la solution 0⁰, non définie.
Si x=y , la solution évidente est x=y =1

Si xy, je peux écrire que y²*ln(x) =x*ln(y).
ln(x)/x =ln(y²)/(2*y²).
Je pose r= x/y²= ln(x)/ln(y) avec r rationnel et r>1 (étude de la variation de ln(x)/x décroissante).
J'en déduis que r*y²=y^r.
y = r^1/(r-2) et x= y^r.

Si y entier, x sera donc entier.Comme r>1, y ne peux être entier que si r est entier.
r2
Pour  r=3 y =3 et x=27
et pour r=4 y=2 et x=16
Pour les valeurs supérieurs de r, y sera compris entre 1 et 2 (fonction y(r) décroissante et tend vers 1 si r tend vers ). Donc plus d'autres solutions entières.

Trois couples (x,y) conviennent : (1,1), (16,2) et (27,3).

je trouve trois couples :

x=1;y=1
x=16;y=2
x=27;y=3

Examinons l'égalité. En gros, nous savons que x élevé à une certaine puissance, doit être égal à y élevé à une autre puissance. Comme x et y sont des entiers, l'égalité n'est possible que si x et y sont eux mêmes puissances d'un autre entier que nous appellerons z. (exemple : 8² = 4³ = 64. Cela n'est possible que parce que 8 et 4 sont des puissances de 2)

On peut donc écrire que x = zⁿ et y = z^m avec n et m premiers entre eux, sinon on change de z.

l'égalité devient alors :

n*z^2m = m*zⁿ

Comme m et n sont premiers entre eux, m et n divisent z. On peut alors ramener cette égalité (je vous passe les détails du raisonnement) au cas où m = 1, c'est à dire z = y et x = yⁿ

L'égalité devient :

n*y² = yⁿ

Essayons en faisant croître les valeurs de n :

-avec n = 1, il faut que y² = y donc y = 1 et x = 1
-avec n = 2, il faut que 2*y² = y² impossible
-avec n = 3, il faut que 3*y² = y³ donc y = 3 et x = 27
-avec n = 4, il faut que 4*y² = y⁴ donc y² = 4 et y = 2 et x = 16

-si n>4, il n'y a pas de solution entière. En effet, posons n = 4 + p
(4 + p)*y² = y^4+p
donc y^2+p = 4 + p aucun y>1 ne convient (la courbe d'équation "puissance (2+p) est au dessus de la droite 4+p)

En définitive, il n'y a que 3 solutions entières :
x = 1 y = 1
x = 16 y = 2
x = 27  y= 3

Voilà, ily a 3 solutions : (1;1) (16;2) et (27;3)
NE me demandez pas de vous le démontrer, c'est juste de l'intuition...

Pour un exercice (...), 2 étoiles me paraît peu

Ceci dit il y a 3 solutions:

(1,1), (16,2), (27,3).

salut,
j'aimerais bien savoir comment vous allez faire pour trouver les couples autres que [b](1,1)[/b]
merci pour l'énigme

je trouve 3 couples:
(1;1)
(16;2)
(16;4)

Bonjour,

Tout d'abord il y a la solution évidente .
Ensuite, en remarquant que , je cherche une solution de la forme .
On doit avoir soit nécéssairement de la forme , d'où
donc de la forme . Ainsi, on doit avoir . Ce qui donne une unique solution, pour , . D'où .

De la même façon, pour , on arrive à , d'où puis la solution .

On continue, pour , on arrive à l'équation qui n'admet pas de solution entière.

La généralisation conduit à l'équation soit ou .
L'étude de la fonction, , décroissante sur \{2} permet de prouver que si .
Ainsi, les seules solutions possibles sont obtenues pour , et ();
c'est-à-dire les 3 solutions déjà exhibées.

Conclusion: L'équation admet exactement solutions (couples d'entiers strictement positifs) : , et   

(1,1)

bonjour,

a mon avis le seul couple d'entier  >0 solution de cette équation est:


                          x=1;y=1


si nous mettons de cote ces solutions on peut developper l'expression de la maniere suivante :



on peut passer en expression logarithmique avec pour restiction x et y different de  1,

ou

ce que l'on peut traduire en prenant k entier >0




le systeme devient :




en faisant la soustraction



y=0 est une solution impossible

et la solution de :

ne sera ja mais un nombre entier

voila ce que j'en pense

a plus tard

PAULO

Un seul couple :

x = 1
y = 1

Bonjour

Il me semble que le traitement de cette équation diophantienne ressemble à
            x^y = y^x
il faut montrer que les solutions rationnelles sont
x = (2+1/n)^(2n+1)
y = (2+1/n)^n

méthode pour trouver :

Bonjour,
J'ai trouvé 3 couples de solution :




En espérant qu'il n'en manque pas, à +

x^1/x = y^1/y[sup]2[/sup]

donc il ne doit y avoir que le couple (1,1) qui valide l'égalité

Bonjour,

Jolie équation
si x^n=y^m alors x divise y, de même y divise x donc x=y=1

Enfin je crois...

J'en ai trouvé 3

salut,

je sens la mauvaise blague, mais je me lance qd mm...

je ne trouve que (1;1)...

At the next one,
BABA

Bravo à tous

Les couples attendus étaients : (1;1) , (16;2) et (27;3)

A plus

Trop balèze pour moi

2 étoiles ? J'en aurais mis 3 ...

Ca doit être dur à inventer ce genre d'enigme !!!

Chapeau clemclem

Bonjour infophile,

Le nombre d'étoile est déterminé par le conseil des sages .
En ce qui concerne l'invention de l'énigme : elle est pas de moi

A plus

Youpi ! J'avais une petite appréhension pour celle-là car je n'étais pas sûr à 100% de mon raisonnement. Ouf.

Allez, pour fêter ça j'offre une tournée génrale.

Et bravo à tous les concepteurs d'énigmes. Ce mois-ci on a été gâtés. Si ça vous intéresse j'en ai quelques unes dans mes fonds de tiroir. Si je réussis à remettre la main dessus (elles doivent être cachées entre mes chaussettes trouées et mes vieux disques vinyls) je vous les sortirai un jour.

Félicitations Razibuszouzou

Jolie performance pour une si courte présence !

Congratulations !

Philoux

félicitation kevin : comme prévu, tu as fini ( encore ) devant moi ce mois-ci !

félicitations à tout les participants et bonnes énigmes pour le mois prochain lol

PS : Razibuszouzou, tu es impressionant : 47 énigmes réussi sur 47 tentées ( sur les deux derniers mois = 100 % de réussite

BRAVO
lyonnais

Bonjour Razibuszouzou,

En ce qui concerne tes énigmes : tu peux les envoyer à Tom_Pascal (ou à d'autres posteurs d'énigmes) si tu veux qu'elle paraissent sur le forum énigme.

Ton énigme sera alors étudiée par le conseil des sages

A plus

J'ai crée un topic spécial Bravo lol

>>Lyonnais

Mais le classement n'est pas très représentatif, toi tu as participé à plus d'enigme, moi j'ai sélectionné ! Par exemple celle-ci je n'ai pas eu d'idée ! Je joue la prudence

Je te félicite !

Mais je me repète, je l'ai dit dans le topic crée

Bonsoir,
En effet, pas si simple pour une deux étoiles (la participation et le pourcentage en attestent).
Sinon, juste histoire de chipoter, la solution "non définie" est exclue d'emblée par l'énoncé. Mais il me semble quand même que par convention (j'en ai le souvenir ferme mais je ne me souviens pas de l'explication).

Enfin, bravo à Razibuszouzou et deep blue pour leur sans faute.

Rohlala , je m'aperçois que mon topic ne sert strictement à rien

Donc je le redis ici :

Félicitations à tous les participants sans exception

Et bien sur un sans faute établi par Razibuszouzou, deep blue et manpower !

Oui félicitations à Razibuszouzou Tu vois, finalement, ça ne se perd pas les maths!!!
Pour la difficulté de l'énigme, d'après Shadowlord, c'est du niveau olympiades internationales de mathématiques... (enfin, bien sûr, pour les OIM, il faut fournir la démonstration, et la faire sans l'aide de la calculette...)

Moins dur que "en retard". Moi, j'ai fait ça sur excel, en essayant tous les couples, tout bêtement. N'importe qui aurait dû y arriver, avec un peu de patience. Merci excel

TOUS les couples ??? Bin dis donc, tu as vraiment beaucoup de patientes pour aller jusqu'à l'infini... Je suis d'ailleurs très étonnée que tu ais déjà fini...

Je ne veux pas faire le rapporteur mais eldamat n'a pas mis les bons couples :P:P

Je ne veux en aucun cas en subir les représailles, non elda ne me tue pas si tu perds ton smiley lol

++ EmGiPy ++

C'est pas beau de rapporter

Kevin

Surtout qd on a l'habitude de ne pas toujours être soi-même bien honnête!
Wiat la rancunière

>>wiat

Je suppose que tu parles de ce topic:

Cryptarythme 3

Kevin

Mais je suis sur que ses couples se sont changés tout seul après qu'il ait obteu son smiley,donc c'est pas sa faute,ils ont juste été perturbés par le smiley de clemclem

Mais non c'est pas vraiment ça , en fait ce qui s'est passé c'est qu'elle a fait une erreur de frappe...

Vous comprenez (16;4) et (27;3) c'est quasi identique

Je me déclare avocat d'elda , et mes arguments sont valables

De plus pour rester terre à terre avec les maths :

(16;4) --> (27;3)

D'après le théorème d'infophile, la transformation reste la même à partir du moment où l'on additionne un nombre identique au extrémité des chiffres des couples, soit :

(1+1 . 6+1 ; 4 ) --> (27; 3+1)

La démonstration confirme l'hypotèse du départ, en restant très perspicace, elda a simplement voulu attirer l'attention sur le résultat surprenant qu'elle obtient en nous bluffant grâce à ce théorème !

Quand dites-vous les juris ?

Bon ok je sors ...

->infophile

Les miens aussi ils sont valables, non mais

En effet Kevin... Mais je fais aussi allusion à celui où monsieur se permet de te faire une réflexion à ce sujet (tu comprends sans doute ce que je veux dire...)
Ceci dit, je ne suis pas là pour faire la morale, et je tiens à préciser que quand j'avais posté ce message, je ne connaissait pas du tout ce forum, et je pensais que seul celui qui organisait les énigmes recevait notre réponse (et oui, j'avias pas tout compris!! ). Car mon but n'était pas de faire étalage sur un forum public, mais juste de faire en sorte qu'Emgipy arrête ce genre de manip.. Enfin, ce n'est pas pour autant que je suis fière de l'avoir dénoncé (j'étais pas mal en colère de savoir qu'on m'avait gentiment prise pour une andouille...)
Enfin bon, errare humanus est, donc je propose le pardon génral (dans lequel j'entends que la petite faute de frappe d'Eldamat soit oubliée )

mdr !



Oui c'est vrai c'est fort probable également, après réflexion

Kevin

>>wiat

Ah oui j'avais oublié, mais bon ce n'est rien comme tu dis

Mais elda mérite tout de même son smiley, 2/3 réponses !

Soit indulgent clemclem si tu nous lis

Kevin