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Petite gymnastique sur les séries

Posté par vendredi (invité) 20-04-07 à 16:39


Bonjour,

Voici un exercice à l'intention des deuxième année, histoire de garder la forme...  

Soit un réel \alpha>0 fixé, et une suite \left( u_n\right) positive
telle que \forall \varepsilon >0 \text{ et } \forall n\in \bold{N^{*}}, on ait :  1/{u_n^{\alpha+\varepsilon}}\lt 1/n.

Montrer que \forall \varepsilon >0 \text{ la serie }\sum 1/{u_n^{\alpha+\varepsilon}} converge.

Posté par vendredi (invité)re : Petite gymnastique sur les séries 20-04-07 à 21:40



Bon, c'est un exo pour tout le monde. Mon voisin de bureau a séché dessus ...
La réponse est simple, mais c'est plus facile quand on la connait

Posté par
kaiser Moderateurre : Petite gymnastique sur les séries 20-04-07 à 22:10

Bonsoir vendredi

Comme c'est un exo pour tout le monde, alors je me lance :

soit \Large{\varepsilon > 0}, alors \Large{\frac{\varepsilon}{2} > 0} et donc pour tout n, on a :

\Large{\frac{1}{u_{n}^{a+\frac{\varepsilon}{2}}}\leq \frac{1}{n}}

ensuite, on élève le tout à la puissance \Large{b=\frac{a+\varepsilon}{a+\frac{\varepsilon}{2}}} qui est un réel strictement supérieur à 1.
On a donc pour tout n \Large{0\leq \frac{1}{u_{n}^{a+\varepsilon}}\leq \frac{1}{n^{b}}}

Or la série \Large{\bigsum \frac{1}{n^{b}}} est convergente car b > 1 donc la série \Large{\bigsum \frac{1}{u_{n}^{a+\varepsilon}} est également convergente.

Est-ce bien cela ?

Kaiser

Posté par vendredi (invité)re : Petite gymnastique sur les séries 20-04-07 à 22:17

Tout a fait !

C'est ce qui s'appelle savoir couper les epsilons en deux avec élégance!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Petite gymnastique sur les séries 20-04-07 à 22:20

:D

Merci pour l'exo !

Kaiser


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