Bonjour,

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Chouette, on reparle de la mémoire de l'eau!

bonjour

joli exo à faire avec Excel (coucou borneo)

exprimer la proportion d'eau après chaque transvasement

p(0) = 0

p(1) = 1/V avec V le volume initial

p(2) = (2V-1)/V²

p(3) = (3V²-3V+1)/V^3

reste à expliciter p(n) en fonction de V et n

( j'ai la résolution dans la marge mais cela ne rentre pas... )

joli, caylus !

Merci Mikayaou

Bonjour, on demande un raisonnement, donc pas d'excel  

bonjour

alors d'accord, borneo, sans excel

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il est facile de montrer que la proportion d'eau suite au n+1 ème remplissage s'exprime en fonction du nième selon la relation :

               p(n+1) = (1 - 1/V).p(n) + 1/V avec V le volume initial en litres

c'est donc une suite u(n+1) = a.u(n)+b qui fournit la relation :

u(n) = (a^n+a^(n-1)+...+a+1).b = (1-a^(n+1))b/(1-a)

comme a=(1-1/V) et b=1/V, on a

                 p(n) = 1 - (1 - 1/V)^(n+1)

ainsi, si on veut déterminer n tel que p(n) > 1/2

1-(1-1/V)^(n+1) > 1/2

(1-1/V)^(n+1) < 1/2

(n+1)ln(1-1/V) < -ln(2)

n+1 > -ln(2)/ln(1-1/V)

n > 1 - ln(2)/ln(1-1/V) sous cette forme, V n'apparaît qu'une fois

soit n > 1 - ln2/ln(364/365) => n > 253,6

A partir du 254ème jour, il boira plus d'eau que de vin

Je ne regarde pas

pour ceux qui veulent généraliser le problème, on peut le passer en données réduites selon l'énoncé suivant :

je ne t'ai pas lu, borneo

d'accord avec toi, J-P sur la pertinence du raisonnement suivi

pourquoi trouve-t-on, entre ton résultat et le mien, un résultat différent d'un jour ? vois-tu où est l'erreur ?

merci
.

Mikayaou,

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Il n'y a pas d'erreur de raisonnement mikayaou, mais je n'ai pas été au bout des explications (comme souvent).

Ma méthode montre qu'après avoit bu le 253 ème jour;, la quantité de vin dans le tonneau est inférieure à 50 % et c'est donc bien le 254 ème jour que Jacquot boira plus d'eau que de vin

Bonjour,

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Soit V(n) le volume de vin restant dans la citerne au jour n.
On trouve V(n) = 364^(n-1)/365^(n-2) = 364.(364/365)^(n-2) (plus pratique pour le calcul de valeurs)

V(1) = 1/365^-1 = 365 litres
V(2) = 364/1 = 364 litres
V(3) = 364²/365 363,003 litres
V(4) = 364³/365² 362,01 litres
etc...

Pour que Jacquot boive plus d'eau que de vin, il faut qu'il y ait moins de 365/2 litres de vin dans la citerne soit :

V(n) < 365/2
364^(n-1)/365^(n-2) < 365/2 = 182,5 litres
2.364^(n-1) < 365.365^(n-2)
ln(2.364^(n-1)) < ln(365.365^(n-2))
ln(2) + ln(364^(n-1)) < ln(365^(n-1))
ln(2) + (n-1).ln(364) < (n-1).ln(365)
ln(2) < (n-1).ln(365) - (n-1).ln(364)
ln(2) < (n-1).[ln(365) - ln(364)]
ln(2) < (n-1).ln(365/364)
(n-1) > ln(2) / ln(365/364)
n > ln(2) / ln(365/364) + 1 253,65^ème jour

Vérification :
V(253) 182,83 litres
V(254) 182,33 litres

Conclusion :
Jacquot boira plus d'eau que de vin à partir du 254^ème jour
en admettant que le mélange vin/eau s'homogénise la nuit...

une JFF pour toi, kiko21

A+
.

Toutafé Mikayaou !!

Mais j'ai mis un peu de temps car je regardais le match Ecosse-Galles...
Je n'ai même pas bu ma petite bière à la mi-temps !
On verra demain pour Irlande-France,

c'est de la Guinness

A+, KiKo21.

Merci à tous d'avoir si brillament répondu!
MIKAYOU a fourni un raisonnement le premier (mais à l'aide d'excel) lol
La palme reviens donc à JP pour avoir donner le résultat le premier!

Merci encore d'avoir jouer le jeu et bonne nuit!

namlam

même pas namlam : je n'avais pas été jusqu'au bout...

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Bonjour,

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1 jour

bonjour

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chaque jour, Jacquot boit 1/365 du vin qui lui reste
sa quantité de vin est multipliée par 364/365
en posant la quantité initale de vin = 1, le logarithme de la quantité restante diminue chaque jour de ln(365/364)
ce logarithme doit diminuer en tout de ln(2) = 253 arondi à l'unité supérieure