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Petite précision correction exercice topologie

Posté par
lolo5959
30-10-05 à 19:10

Bonsoir à tous!

J'ai fait un exercice dans un bouquin et il y a un 'tit truc que je ne comprend pas dans leur réponse:

" Soit E=
On pose pour tous x et y réels:
d(x,y)= /x-y/
et d'(x,y)=/arctan x - arctan y/

Vérifier que (E,d') n'est pas complet. "

Puisque d est la distance usuelle, (,d) est complet.
Pour montrer que (,d') n'est pas complet, on construit dans cet espace une suite de Cauchy qui ne converge pas pour d'.

Posons, pour tout n naturel: (xn)=n
La suite (Arctan n )converge dans (,d) vers Pi/2; c'est donc une suite de Cauchy dans (,d),  ce qui revient à dire que la suite (xn) est de Cauchy dans (,d') .....

Alors, c'est à la fin de cette partie que je ne comprends pas:
déjà, ils disent que (arctan n) converge dans (,d), j'aurais plutôt dit dans (,d') car il y a le terme "arctan"? mais surtout pourquoi le fait qu'lle soit de Cauchy dans (,d) revient à dire que (xn) est de Cauchy dans(,d')?


Voilà ma (mes 2) question(s), merci beaucoup pour vos réponses!

Posté par darwyn (invité)re : Petite précision correction exercice topologie 30-10-05 à 19:44

Il faut juste remarquer que d'(x,y)=d(arctan(x),arctan(y)).

Posté par
lolo5959
re : Petite précision correction exercice topologie 30-10-05 à 21:36

Merci bien darwyn pour ton aide mais le fait de remarquer que d'(x,y)=d(arctan(x),arctan(y)), je ne vois pas comment en déduire que le fait qu'elle soit de Cauchy dans (,d) revient à dire que (xn) est de Cauchy dans(,d')?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Petite précision correction exercice topologie 31-10-05 à 02:14

Bonsoir lolo5959 et darwyn;
(*)Pour voir que la suite 3$\fbox{(x_n=n)_{n\in\mathbb{N}}} est de cauchy dans 2$(\mathbb{R},d') on peut remarquer ( en utilisant la croissance de la fonction arctangente et le faite qu'elle tend vers \frac{\pi}{2} en +\infty ) que:
3$\fbox{\forall 0\le p<q\\d'(x_p,x_q)=|arctan(p)-arctan(q)|=arctan(q)-arctan(p)<\frac{\pi}{2}-arctan(p)} et donc que 4$\blue\fbox{\lim_{p,q\to+\infty}d'(x_p,x_q)=0} donc cette suite est bien de cauchy dans 2$(\mathbb{R},d').
(*)Supposons maintenant (par l'absurde) qu'elle soit convergente dans 2$(\mathbb{R},d') il existerait donc un réel 2$x tel que 3$\lim_{n\to+\infty}d'(x_n,x)=0 c'est à dire tel que 3$\lim_{n\to+\infty}|arctan(n)-arctan(x)|=0 et comme 3$\lim_{n\to+\infty}arctan(n)=\frac{\pi}{2} on aurait que 3$\red\fbox{arctan(x)=\frac{\pi}{2}} ce qui est hors de question puisque 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\\arctan(x)<\frac{\pi}{2}}

Conclusion:
L'espace métrique 3$(\mathbb{R},d') n'est pas complet.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
lolo5959
re : Petite précision correction exercice topologie 31-10-05 à 19:22

Merci beaucoup elhor_abdelali
Une nouvelle fois, votre aide m'a été très utile



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