Bonsoir à tous!
J'ai fait un exercice dans un bouquin et il y a un 'tit truc que je ne comprend pas dans leur réponse:
" Soit E=
On pose pour tous x et y réels:
d(x,y)= /x-y/
et d'(x,y)=/arctan x - arctan y/
Vérifier que (E,d') n'est pas complet. "
Puisque d est la distance usuelle, (,d) est complet.
Pour montrer que (,d') n'est pas complet, on construit dans cet espace une suite de Cauchy qui ne converge pas pour d'.
Posons, pour tout n naturel: (xn)=n
La suite (Arctan n )converge dans (,d) vers Pi/2; c'est donc une suite de Cauchy dans (,d), ce qui revient à dire que la suite (xn) est de Cauchy dans (,d') .....
Alors, c'est à la fin de cette partie que je ne comprends pas:
déjà, ils disent que (arctan n) converge dans (,d), j'aurais plutôt dit dans (,d') car il y a le terme "arctan"? mais surtout pourquoi le fait qu'lle soit de Cauchy dans (,d) revient à dire que (xn) est de Cauchy dans(,d')?
Voilà ma (mes 2) question(s), merci beaucoup pour vos réponses!
Il faut juste remarquer que d'(x,y)=d(arctan(x),arctan(y)).
Merci bien darwyn pour ton aide mais le fait de remarquer que d'(x,y)=d(arctan(x),arctan(y)), je ne vois pas comment en déduire que le fait qu'elle soit de Cauchy dans (,d) revient à dire que (xn) est de Cauchy dans(,d')?
Bonsoir lolo5959 et darwyn;
(*)Pour voir que la suite est de cauchy dans on peut remarquer ( en utilisant la croissance de la fonction arctangente et le faite qu'elle tend vers en ) que:
et donc que donc cette suite est bien de cauchy dans .
(*)Supposons maintenant (par l'absurde) qu'elle soit convergente dans il existerait donc un réel tel que c'est à dire tel que et comme on aurait que ce qui est hors de question puisque
Conclusion:
L'espace métrique n'est pas complet.
Sauf erreurs bien entendu
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