le mieux est de calculer une intégrale (c'est une primitive...)

int(0,t)(rac(1-x²))dx

on pose x=sin(u)

int(0,arcsin(t))(cosu.cosu.du)
int(0,arcsin(t))((1+cos(2u))/2)

[u/2+sin(2u)/4] pris entre 0 et arcsin(t)
arcsin(t)/2 +sin(2arcsin(t))/4

astuce:
sin(2arcsin(t))=2sin(arcsin(t))cos(arcsin(t)
(a cause de la formule sin(2x)=2sinxcosx)

ensuite on ecrit cos=rac(1-sin²)
=2.t.rac(1-sin²(arcsin(t))
=2.t.rac(1-t²)

la primitive est arcsin(t)/2 + t rac(1-t²) /2
( valable a une constante pres, la constante en fait vient du choix
de 0 comme borne inférieur de l'intégrale !!!)
A verifier
( j'ai derivé pour verifier je crois que c'est bon!)
A+

J'y avais bien pensé aussi, Guillaume mais le problème est l'utilisation
du changement de variable et l'utilisation de l'arcsinus
en terminale qui me semblent totalement hors programme.

Mais je n'ai pas mieux à proposer.

@+

Hello victor,
tu mets le doigt sur un point délicat de mes réponses:
je ne sais pas toujours quelles notions sont acquises ou pas à tel ou
tel niveau.

Si arcsin est inconnu, sin^(-1) ne l'est quand même pas !!!
enfin j'éspère.

A+

Attendons l'avis de Karine...

A+

Malheureusement, en terminale, il n'y a pas l'étude de
la fonction sin^-1...

@+

J'ai le même problème que Guillaume, je n'ai pas la moindre
idée des notions acquises en fonction du niveau.

Je viens d'aller feuilleter mes cours (d'il y a près de 40
ans, cela vous situe où j'en suis) et la notion d'arcsin
avait été introduite en fin de 3 ème ???

Je ne relance pas de débat sur cela mais je n'en pense pas moins.
  

A+  

Je suis bien d'accord avec toi, J-P (sans vouloir relancer le
débat
)

@+

Bon, avec tout cela, je n'avais pas envoyé ma solution qui n'apporte
rien de plus.

Comme je l'avais rédigée, je l'envoie plutôt que de la mettre
dans la corbeille.  
----
S V(1-x²) dx    (avec V pour racine carrée).

Poser x = sin(t)
dx = cos(t) dt

S V(1-x²) dx = S V(1-sin²(t)) .cos(t) dt
S V(1-x²) dx = S cos²(t) dt = S [(1 + cos(2t))/2] dt
S V(1-x²) dx = (1/2).t + (1/4).sin(2t)  + C  (avec C une constante).

sin(2t) = 2.sin(t).cos(t) = 2x.V(1-x²)

S V(1-x²) dx = (1/2).arcsin(x) + (1/2).x.V(1-x²) + C
----

c'est simple tu dis que la rascine d'un nombre=au nombre
élevé à la puissance 1/2.  ensuite tu t'arrange pour avoir une
fonction de la forme u'.u^(1/2).