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Petite question par curiosité

Posté par
euler641rienman 28-10-15 à 20:05

Bonsoir à tous je m?intéresse beaucoup aux nombres premiers et à leur répartition

malgré que je sois en première Et j'ai entendu que le prochain nombre premier

pn+1 (désolé je n'arrives pas à faire les indices) était donné par la formule :

pn+Ln(pn)pn+1 quand pn(le premier précédent) est très grand.

Est ce que c'est vrai ? Si oui y'a t-il une démonstration existante à ce sujet ?

Je vous remercie d'avance pour toutes vos réponses pour étancher ma curiosité

Ps: J'espère que mon message soit compréhensible de tous (pour le sens).

Posté par re : Petite question par curiosité 28-10-15 à 20:16

Bonsoir,

comme c'est visiblement en contradiction avec la conjecture des nombres premiers jumeaux, c'est "visiblement faux"
(sinon on infirmerait immédiatement cette conjecture qui n'en serait plus une du coup)

ne pas confondre une densité de répartition (une moyenne), avec la valeur approximative de l'écart entre deux nombres successifs !!!

Posté par Réponse 28-10-15 à 20:35

Merci pour ta réponse concise, en effet je pensais la même chose,

mais comme un de mes proches en étais sûr et qu'aucune source internet n'infirmait

son propos alors je me suis permis de me renseigné ici.

Mais existe-t-il alors une approximation donnant avec une bonne précision de l'écart entre

deux nombres premiers ?

Posté par re : Petite question par curiosité 28-10-15 à 20:51

vu qu'on conjecture qu'il y a une infinité de cas où cet écart peut être aussi faible que 2 ...

Posté par re : Petite question par curiosité 28-10-15 à 21:05

Je suis d'accord néanmoins est ce que si on dit que

p+Ln(p)pn

sans spécifier que pn soit le nombre premier suivant,

est ce que cela contredis la conjecture des nombres premiers jumeaux ?

et est ce que l'approximation se révèle être assez bonne quand p est très grand?

Posté par re : Petite question par curiosité 28-10-15 à 21:48

Alors est ce que l'on peut démontrer que

pn+1<pn+ln(pn) quand pn devient très grand sans pour autant

que pn+Ln(pn)pn+1

Posté par re : Petite question par curiosité 28-10-15 à 22:46

sans chercher à creuser d'avantage, peut être aller regarder du côté de Wikipedia , en première approche, ou d'autres ressources plus "pointues" sur le sujet :

théorème de Rankin :
pour tout >0 il existe une infinité de n qui vérifient :

$p_{n+1} - p_n \ge (e^\gamma - \epsilon) \ln p_n \dfrac{\log_2 p_n \log_4 p_n}{\log_3^2 p_n}$

$e^\gamma \approx 1.78$
le terme en log de bases diverses se simplifie par la formule log_b x = ln x ln b
il reste au final un terme $p_{n+1} - p_n \ge K \ln p_n$ , avec K > 1
ce qui ferait donc infirmer que p_n+1 < p_n+ln(p_n) quel que soit n "suffisemment grand"
(puisqu'il existe une infinité de n pour lesquels c'est faux)