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petite question sur courbe paramétrique
Bonjour j'ai un petit exo sur les plans et tout le bazar et il n'y a qu'une question qui me gene
On considère dans l'espace E muni d'un repère orthonormé(o,i,j,k) les plans P1 et P2 d'équation respective x+2z+7=0 et -x+3y-2z-4=0.Soit a le point A(1,1,1)
1°)Doner une représentation paramétrique de D=P1
P2
Ca c'est fait
2°)Déterminer la distance du point A au plan P1
C'est fait aussi
3°)On admet que tous les plans contenant (sauf P1) ont une éqution de la forme
(x+2z+7)+(-x+3y-2z-4)=0
Déterminer une équation cartésienne des deux plans contenant D et siitué à une distance 2 de A
Cette question me pose problème...Merci
Pour trouver l'équation cartésienne des deux plans, il faut trouver la ou les valeur(s) de alpha.
Comment exprimes-tu que le plan d'équation alpha(x+2z+7)+(-x+3y-2z-4)=0 est situé à une distance 2 de A ?
Nicolas
salut psycho 
:
que trouves tu pour les deux premières questions voir si on a pareil ?
moi je trouve :
1°) : l'équation paramétrique de D est :
2°) :
romain
Pour 3°)
Soit P d'équation ax+by+cz+d = 0.
P contient D et est situé à une distance 2 de A
<=> P = P1 et distance = 2
ou P est d'équation alpha(x+2z+7)+(-x+3y-2z-4)=0 et distance = 2
<=> P est d'équation alpha(x+2z+7)+(-x+3y-2z-4)=0 et distance = 2
<=> P est d'équation(alpha-1)x+3y+(7alpha-2)z+(7alpha-4)=0 et distance = 2
<=> |...| = 2 (formule de distance d'un point à un plan)
<=> ...
On finit par trouver deux valeurs pour alpha, donc 2 équations possibles pour P.
Nicolas
lyonnais:pour la 1°)je toruve pareil mais pour la 2 je trouve 4racide de 5/5
Mais je pense que c'est parce que dans le memebre du haut j'ai fait -7 et pas +7
C'est pt'et pour ca
Nico: merci beaucoup
euh en fait nan jre pige pas bien la question 3 Nico
Oublions la formulation par équivalence, et tournons-le autrement.
On te demande de détermine une équation cartésienne des deux plans contenant D et situés à une distance 2 de A.
L'énoncé indique déjà que ces équations cartésiennes sont de la forme :
alpha(x+2z+7)+(-x+3y-2z-4)=0
c'est-à-dire (...)x + (...)y + (...)z + (...)=0
où les (...) s'expriment en fonction de alpha.
Reste à exprimer le fait que ces plans sont à une distance 2 de A. Il existe une formule pour cela. Cela te donnera une équation dont alpha est la seule inconnue.
Tu vois mieux ?
Nicolas
3°
alpha(x+2z+7)+(-x+3y-2z-4)=0
x(alpha - 1) + 3y + z(2.alpha - 2) + 7.alpha - 4 (1)
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Rappel théorique:
Distance d'un point à un plan:
Etant donné le plan Ax + By +Cz + D = 0 et le point P(x0, y0, z0), la distance de P au plan est exprimée par :
d = |(Ax0 + By0 + Cz0 + D)/ V(A² + B² + C²)| (V pour racine carrée).
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Dans le problème posé, x0 = y0 = z0 = 1 et d = 2
A = alpha-1, B = 3, C = 2.alpha-2 et D = 7.alpha-4
--->
2 = |(alpha-1 + 3 + 2.alpha-2+ 7.alpha-4 )/ V((alpha -1)² + 3^2 + (2.alpha-2)²)| (avec V pour racine carrée).
2 = |(10alpha -4)/ V((alpha -1)² + 3^2 + (2.alpha-2)²)|
1 = |(5alpha - 2)/ V((alpha -1)² + 3^2 + (2.alpha-2)²)|
Dont les solutions sont alpha = -1/2 et alpha = 1
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En remplaçant dans (1) alpha par -1/2 et 1, on a les équations des 2 plans cherchés.
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Sauf distraction. (calculs à vérifier).
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