Bonjour ptitange


Cela fait longtemps que je n'ai pas bossé le sujet. Je te donne mes
pistes, si quelqu'un peut corriger ou compléter ou simplifier...


Question 1
a divise bc et pgcd(a;b) = 1
d'après le théorème de Gauss  a divise c
donc il existe un entier naturel k tel que   c = k * a    (1)

b divise ac , en reportant  (1),   b divise k * a²
Comme pgcd(a;b) = 1,  b divise k
donc il existe un entier naturel k' tel que  k = k' * b  
ainsi c = k' * a * b

c divise ab   c'est à dire  k' * a * b divise ab
donc il existe k'' tel que:   k' * k'' * a *
b  = a * b
donc k' * k'' = 1 donc k' = k'' = 1

et donc   c = a * b.

c'est à dire onc   k' * a²

il existe k'' entier naturel tel que:  c = k'' *
a * b
en effet si d est un diviseur premier de c
si d divise a alors d ne divise pas b (sinon pgcd(a;b) > 1)
si d divise b, alors il ne divise pas a
dans la décomposition en facteurs premiers de c, on peut répartir les
facteurs en trois paquets:
c = facteurs premiers de a  *  facteurs premiers de b * reste

c divise ab donc il existe k''



Question 2
Il existe deux entiers a' et b' tels que:     a = g * a'
  et   b = g * b'

Condition nécessaire
a divise bc
donc g a'  divise g b' c
donc a' divise b' c
donc a' divise c
donc a' k =c

de même b divise  a c
donc g b'  divise g a' c
donc b' divise a'² k
donc b' divise k
donc k = k' b'
ainsi  c = k' a' b'

c divise a b
c'est à dire k' a' b' divise g² a' b'
donc k' divise g²

j'arrive à   c = diviseur de g²  *  a'   * b'


[i]Est-ce suffisant ?[/u]
Soit a et b deux entiers naturels. On pose  g = pgcd(a ; b)  
Soit d un diviseur de g². On définit a', b', C tels que:
a = g * a'
b = g * b'
C = d * a' * b'

On a bien:
a divise b C   c'est à dire      g a'     divise  g² b'²
a'
b divise a C   c'est à dire      g b'     divise  g² a'²
b'
C divise a b   c'est à dire      d a' b' divise  g²
a'  b'

donc les c qui vérifient l'énoncé sont ien de la forme:
diviseur de g²  *  a'   * b'

c ne serait donc pas unique (?)