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Pgcd

Posté par
sosomomo10
27-03-17 à 14:36

Bonjour à tous, je ne sais pas comment faire la question :

Trouver les trois plus petits entiers consécutifs divisibles respectivement par 7, 9 et 11.

Posté par
vham
re : Pgcd 27-03-17 à 14:58

Bonjour,

assez facile, penser à la divisibilité par 9 et par 11

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 27-03-17 à 16:22

Bonjour,

euh..
je ne vois pas trop comment utiliser les caractères de divisibilité par 9 et 11 ici

par contre écrire que :

a-1 ≡ 0 [7}
a ≡ 0 [9}
a+1 ≡ 0 [11]

oui,
(résoudre de proche en proche, ou restes chinois)

Posté par
vham
re : Pgcd 27-03-17 à 18:48

Bonsoir mathafou,
Mais si, de suite on voit qu'on aura un nombre de 3 chiffres
N= abc. Divisibilité par 11 entraîne a+c=b
Divisibilité par 9 entraine a+b+(c-1)=9
Donc b=5 est un bon candidat avec en plus c2
Et alors "facilement" N=350
(J'ai à peine un peu raccourci le raisonnement)

Posté par
vham
re : Pgcd 27-03-17 à 18:51

Lire N+2=abc

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 27-03-17 à 19:23

"on voit qu'on aura un nombre de 3 chiffres" pas franchement convaincu par ça

d'un part c'est après élimination explicite des 11, 22, .. 99
et d'autre part "au moins" trois chiffres, à moins de justifier explicitement que toutes les solutions sont de la forme n0 + 693k, k dans (et on retrouve les restes chinois)

le nombre (abc} - 1 n'est pas forcément le nombre ab(c-1)

ce raisonnement "sur les chiffres du nombre" entraine une arborescence de tests et d'hypothèses plus complexe que tu ne penses
même si "intuitivement" les choix "qui semblent le plus raisonnable" conduit à une branche qui aboutit à une solution.
(seulement plausible sans faire une batterie d'essais, prouvé seulement suite à cette batterie d'essais)

Posté par
vham
re : Pgcd 27-03-17 à 20:25

Allons-donc, il ne faut pas bouder l'intuition qui conduit à trouver si facilement la solution...
"Plus complexe que tu ne penses" Bravo, mathafou, si vous savez ce que je pense...

Posté par
sosomomo10
re : Pgcd 28-03-17 à 18:37

Merci à tous, j'ai commencé un truc mais je n'arrive pas au bout :

a-1=0[7]                          a=1[7]
a=0[9]                               a=0[9]
a+1=0[11]                      a=10[11]

On a alors :
a = 7k+1 ou a = 9k' ou a = 11k"+10

Je voulais faire :

7k+1-9k'=0
7k-9k'= -1
et
11k"+10-9k'=0
11k" - 9k'=-10 ou 1

Mais comment je dois faire après ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 28-03-17 à 19:02

7k-9k'= -1 est une "équation de Diophante" de la forme générale ax + by = c en nombres entiers (dans )

si tu n'as pas vu comment résoudre ce genre d'équations, ça ne s'invente pas vraiment
et alors tu n'as plus qu'à faire marcher "l'intuition" mutuellement guidée avec un certain nombre d'essais
(essais et intuition s'échangeant des infos) à la mode vham.

en tout cas pour résoudre une telle équation, il faut d'abord en chercher une "solution particulière" K0, K'0

par "divination" (en fait en connaissant ses tables de multiplication : quel multiple de 7 est un multiple de 9 moins 1 ?)
ou avec l'algorithme d'Euclide (gros marteau pilon ici)

on retranche alors membre à membre l'égalité avec les inconnues et l'égalité écrite avec les valeurs de la solution particulière

et on obtient au final (because Gauss) l'ensemble de toutes les solutions k = K0 + 9m et k' = K'0 + 7m, m parcourant

on reporte k' dans la deuxième équation, celle en k' et k'', pour avoir une équation en m et k'' et même méthode
cela aboutit à toutes les solutions répondant aux critères de l'énoncé sous la forme N = 350 + 693p, p parcourant
et il suffit de choisir p qui donne le plus petit N (assez évident cette valeur de p)

je me permets de citer la valeur 350, vu qu'elle a été donnée par vham
le but du jeu est tout de même de la retrouver soi-même !

Posté par
sosomomo10
re : Pgcd 28-03-17 à 19:07

D'accord, je vais essayer de refaire ça! Merci pour ton aide, c'est cool!!!!!

Posté par
carpediem
re : Pgcd 28-03-17 à 20:27

salut

Citation :
On a alors : a = 7k+1 ou et a = 9k' ou et a = 11k"+10

Posté par
flight
re : Pgcd 28-03-17 à 20:45

salut à tous :

on a le systeme : (obtenu apres manip)

7k -9k'=8
7k-11k"=9
9k'-11k"=1

la derniere équation resulte des deux premieres ( par difference)
9k'-11k"=1   retourne deux solutions  :
k' =5+11.j et k"= 4+9.j    ( moi je resoud ca à l'aide des congruences c'est plus simple)

on prend ensuite la premiere équation et on remplace k' par ce qu'on a trouvé
soit  7k - 9(5+11j)= 8 --> soit  7k - 99.j = 53  rebelotte avec les congruences et
k = -49+99p
j = -4+7p
c'est quasiment fini :
a = 7.k = 7.(-49+ 99p)=  -343 + 693p
une première valeur de a  en prenant p =0 serait   a = 350  ... bon c'est fait un peu
à l'arrache mais ca tient la route

Posté par
vham
re : Pgcd 28-03-17 à 21:03

Bonsoir,

Je me demande quelles méthodes sont vues par sosomomo10 pour résoudre un système tel que :
a = 7k+1 et a = 9k'  et a = 11k"+10
même si mathafou en donne une esquisse
Les restes chinois sont dans quel programme de lycée ?

Je me souviens très bien par contre avoir appris la règle de divisibilité par 9 à l'école primaire
et celle par 11 au début du collège, elles n'ont rien d'une divination.

Et la bonne intuition, n'est-ce pas celle qui conduit facilement et rapidement à la solution ?

Posté par
vham
re : Pgcd 28-03-17 à 21:11

Bonsoir,

Citation :
k' =5+11.j et k"= 4+9.j    ( moi je resous ça à l'aide des congruences c'est plus simple)

Peut-on avoir le calcul un peu détaillé ?  

Posté par
flight
re : Pgcd 28-03-17 à 21:25

salut vham .. ok

c'est une sauce maison que j'ai concocté moi meme  , tu goutte et tu me dis ca ...

avec 7k - 99j = 53 , je pose   99 = 1[7]  alors  99j = j [7] (1)
ensuite on a  7=0[7] alors  7k =0[7]  (2)
puis  (2)-(1)   donne  53 = -j[7]   soit  j= -53[7]   soit aussi j=-4[7] d'ou j = -4+7p
on en tire k facilement  7k  = 53 + 99(-4+7p)    et k = -49+99p   voila ..

Posté par
vham
re : Pgcd 28-03-17 à 22:09

Bonsoir flight,
dont j'apprécie beaucoup les interventions (idem pour mathafou et bien d'autres...)

je voulais juste voir un peu de détail dans la façon de
faire trouver par sosomomo10 le 5 et le 4 en partant de :
  

Citation :
9k'-11k"=1   retourne deux solutions  :    k' =5+11.j et k"= 4+9.j

Posté par
Cherchell
re : Pgcd 29-03-17 à 08:19

Récité les tables de multiplication : 9 * 5 = 45 = 4 * 11 + 1

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 11:43

[a = 1 [7] et a = 0 [9] et a = -1 [11] ]<=> [(a = 1 [7] et a = 0 [9]) et (a = 0 [9] et a = -1 [11]) ]

a = 1 [7] et a = 0 [9] <=> a = 7p + 1 et a = 9q => 9q - 7p = 1

7 et 9 sont premiers entre eux donc on sait qu'il y a des solutions :

9q - 7p = 1 <=> 2q + 7(q - p) = 1 <= q = 4 et q - p = -1 <=> q = 4 et p = 5

9q - 7p = 1
9(4) - 7(5) = 1

=> 9(q - 4) = 7(p - 5) (par soustraction)

théorème de Gauss => q = 7k + 4 et p = 9k + 5

a = 7p + 1 = 7(9k + 5) + 1 = 63k + 36
a = 9q = 9(7k + 4) = 63k + 36


a = 0 [9] et a = -1 [11] <=>a = 9q  et a = 11p - 1 => 9q -11p = -1

9 et 11 sont premiers donc on sait qu'il y a des solutions :

9q - 11p = -1 <=> 9(q - p) - 2p = -1 <= p = 5 et q - p = 1 <=> p = 5 et q = 6

9q - 11p = -1
9(6) - 11(5) = -1

=> 9(q - 6) = 11(p - 5) (par soustraction)

théorème de Gauss => q = 11k + 6 et p = 9k + 5

a = 9q = 9(11k + 6) = 99k + 54
a = 11p - 1 = 11(9k + 5) = 99k + 54


donc il reste à résoudre de la même façon : a = 63p + 36 et a = 99q + 54

en faisant attention que ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 12:08

bien plus rapide : (il n'y a réellement que deux équations à résoudre, pas trois)

quand on a eu
a = 63k + 36

on passe directement à
a ≡ 36 [63]
a ≡ -1 [11]

(et même méthode) et ce sera fini.

nota : pour la résolution de 9q - 7p = 1, la connaissance de ses tables de multiplications par 7 donne directement p = 5, solution de 7p = 9q - 1

Posté par
vham
re : Pgcd 29-03-17 à 12:10

Bonjour,
je vois donc que la solution de 27-03-17 à 18:48 est la plus succincte et la plus simple
j'espère que personne ne dira "trop simpliste"

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 12:14

si on veut la rédiger correctement et complètement elle ne se résume absolument pas à ce que tu as écrit.
ce n'est qu'un canevas qui laisse bien plus d'hypothèses et d'essais cachés que tu n'en donnes.
c'est cela que je voulais dire dès le début.

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 12:15

mathafou : bien sur ... mais je suis resté dans une méthode volontairement très scolaire (mécanique)  ... et est voulu insister sur les et

il est évident que : (a et b et c) <=> [a et b) et (b et c)]  même si bien sur c'est équivalent à : (a et b) et c

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 12:28

qui donc résoudrait trois équations pour résoudre A = B = C ???
cela à toujours été un système de deux équations seulement ...

et de plus l'écriture "parenthèsées" de "a et b et c" est bien "(a et b) et c"
les écritures "(a et b ) et (a et c)" ou "(a et b) et (b et c)" me semblent passablement artificielles !

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 13:17

elle ne sont pas artificielles tant qu'on ne sait pas que et est associatif !!!

dans l'algèbre des matrices :

si BA = I et AC = I alors ::

1/ B = C parce que le produit est associatif

2/ il y a alors unicité (de l'inverse) parce que le produit est associatif

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 13:25

l'associativité me semble une propriété fondamentale !
vu que c'est la seule et unique possibilité d'avoir le droit d'écrire "a et b et c" sans parenthèses.

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 13:29

ben justement ... mais elle n'est pas évidente à-priori

elle se montre par récurrence à partir de la table de vérité de a et b

puis en montrant que (a et b) et c = a et (b et c) et donc qu'on peut se débarrasser des (.)

et donc que (a et b) et c = a et (b et c) = a et b et c


c'est évidemment une démonstration élémentaire ... mais c'est une preuve de la théorie !!!

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 13:30

en en math on prouve le fait d'avoir le droit de faire des choses !!!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 13:33

le simple fait de l'écrire (a et b et c) suppose donc qu'on l'a démontré

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 15:12

ou du moins accepté/admis pour ce qui concerne le lycée

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 15:40

il fut un temps où les notations mathématiques étaient plus frustes et donc nécessitaient une étude préalable approfondie du langage et de la logique avant de ne serait-ce que commencer à faire les moindres maths que ce soit. ("propédeutique")
à part le pur calcul opératoire, additions multiplications (avec une abaque bien entendu ou un boulier, calcul, de calculus cailloux servant à compter)
qui contrairement à l'appellation moderne en maternelle et primaire ne sont pas franchement des maths
il y a seulement très peu de temps (puisque je m'en souviens) qu'on fait des "maths" à l'école primaire, avant on faisait du calcul et des problèmes, les maths ne commençant que en 6ème.
ce changement de vocabulaire n'est pas du tout anodin !

de nos jours on commence les maths directement avec les notations modernes (écritures littérales, signes conventionnels comme égal etc )
du coup on fait l'impasse sur les bases de la logique se disant que "ils se démerderont bien avec le sens commun"
alors que justement ils sont complètement dénués de sens commun ...
(par exemple croire que on peut répondre à une question sans avoir l'énoncé de l'exo ... tellement fréquent ici)

ces "bases de logique" intuitives sont tellement "admises" qu'on n'en parle même pas du tout
(la signification de "et" y compris en langage courant)

il faut attendre des études supérieures pour remettre les pendules à l'heure et formaliser tout ça de façon précise.
(calcul des propositions, axiomatique etc)

est-il vraiment nécessaire de formaliser l'associativité du "et" pour comprendre ce que ça veut dire ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 29-03-17 à 15:41

* avant, pas avant

Posté par
carpediem
re : Pgcd 29-03-17 à 18:09

non bien sur pour répondre à ta question ... mais comme tu le dis le sens commun n' a pas l'air si commun que cela ...

ensuite comme tout apprentissage gradué il y a une différence entre une sensibilisation d'une notion et THE théorie of cette notion

le terme d'associativité n'est pas utilisé au lycée sauf en spé lorsqu'on voit les matrices ... mais ça n'est pas naturel (et quelque part normal dans une certaine mesure) puisque les deux opérations de base + et * ne posent aucun pb ...

et là où on voit qu'il n'ont pas conscience de cette propriété c'est qu'ils font la même chose avec leur réciproque - et / ...


et je suis d'accord avec ce qui précède en nuançant : faire du calcul et résoudre des pb (de math) en primaire c'est faire des math

ce qui se passe à l'entrée en 6e c'est simplement qu'on fait les (mêmes) math ... pendant le cours de math !!! (tout en avançant dans les savoirs bien sur)

Posté par
vham
re : Pgcd 30-03-17 à 10:55

Bonjour,

Après ces leçons et digressions fort intéressantes, j'aimerais voir comment vous calculez :

Trouver les trois plus petits entiers consécutifs divisibles respectivement par 13, 103 et 1003.

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 11:01

par la pensée je peux faire (car répéter) le raisonnement précédent

par la calculatrice (algorithme) je peux te donner la réponse

mon travail de mathématicien est donc fini

Posté par
vham
re : Pgcd 30-03-17 à 11:21

Bonjour carpediem,
c'était juste pour voir si sosomomo10 pouvait suivre la méthode de calcul  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 30-03-17 à 12:01

je suis, un peu comme carpediem : dès que les calculs dépassent des nombres à quelques chiffres, c'est la machine
(le temps du calcul à la main de centaines de décimales de pi est révolu)

pour ma part j'ai un script tout fait qui résout un système d'équations linéaires en nombres entiers à autant d'inconnues que l'on veut
l'avantage de ce script est que je l'ai écrit alors que on fait bien sur pareil en tapant directement tout ça dans Xcas ou autres, mais la méthode que Xcas utilise, il n'y a que lui qui la connait ...
créer un tel algorithme est un bon exercice de programmation.

il ne s'agit pas d'un algorithme par force brute mais d'un algorithme basé sur l'application à du calcul matriciel de l'algorithme d'Euclide, une sorte d'hybridation entre la méthode du pivot de Gauss et la division entière avec reste)

bien entendu on peut faire avec la méthode élémentaire précédente ...
et une bonne calculette pour effectuer les opérations sur des nombres de l'ordre de 13 × 103 × 1003 = 1343017

nota sur le "et" :
je rappelle qu'il s'agit de résoudre le système, en appelant a le nombre du milieu :
(a = ) 7m + 1 \normalsize \red= 9n \normalsize \red= 11p - 1 (pour le problème initial)

système de deux équations (deux signes égal) à 3 inconnues m, n, p
(vus que a = 9n , considérer "a" comme inconnue dans les équations est un peu gonflé)
comme tout système c'est bien un "et" de ici deux équations.

Posté par
vham
re : Pgcd 30-03-17 à 12:21

Bonjour mathafou,

On a tous nos algorithmes, pour Euclide, Gauss, restes chinois,...
et la force brute rapide genre :

n=1000
while True:
    if n%13==0 and (n+1)%103==0 and (n+2)%1003==0:break
    n+=1
print(n,n+1,n+2)
# Résultat : 887653 887654 887655

et je me rappelle avoir plus raisonné en arithmétique sur les problèmes de trains et de baignoires de l'école primaire que sur les mêmes avec l'algèbre du secondaire.
Ce pourquoi j'aime encore utiliser les divisibilités par 9 et 11 qui me sont toujours chères.

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 12:53

mathafou : bien sur système de deux équations à trois inconnues : a n'est qu'un intermédiaire et je n'ai jamais dit le contraire ...

vham : ça me rappelle un examen en licence en arithmétique (tout ce qu'il y a de plus officiel) où la dernière question du pb était un truc du genre :

pouvez-vous donner une solution entière à l'équation px^2 - qy^2 = 1 où un truc du genre et où p et q étaient évidemment deux entiers donnés

j'ai répondu :

oui je le peux : (... , ...)

où (... , ...) était la solution que j'avais trouvé par la même force brutale que toi en faisant en deux temps trois mouvements un programme


je pense et j'espère avoir obtenu la totalité des points à la question ... (en tout cas j'avais validé ce certificat d'algèbre)

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 12:58

je préfère quand même :

n=1000
while not(n%13==0 and (n+1)%103==0 and (n+2)%1003==0)
    n+=1
print(n,n+1,n+2)
# Résultat : 887653 887654 887655


plutôt qu'un break

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 30-03-17 à 13:25

Citation :
je n'ai jamais dit le contraire ...

si.

en allant au départ vers la résolution de trois équations au lieu de deux et en invoquant pour justifier ça toute cette discussion sur le "et"

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 16:54

non ... si tu lis bien ce que j'ai fais avec le "et" à 11h43 je ne résous que deux équations (en p et q avec 7 et 9 et avec 9 et 11) ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 30-03-17 à 17:41

1ère équation : 9q - 7p = 1
2ème équation : 9q -11p = -1
il reste à résoudre de la même façon : a = 63p + 36 et a = 99q + 54

mais en fait c'est pire parce que la seconde équation aurait dû être 9q - 11r
(pas le même p)

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 17:54

les lettres p et q sont des variables muettes ... pour chacune des deux équations ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 30-03-17 à 18:45

manque de bol non.
(parce que si ce sont des variables muettes on ne peut pas les relier entre elles dans la suite et tout s'écroule)

les équations sont bien comme je le disais :

Citation :
je rappelle qu'il s'agit de résoudre le système, en appelant a le nombre du milieu :
(a = ) 7m + 1 = 9n = 11p - 1 (pour le problème initial)

avec m, n et p qui ne sont pas des variables muettes mais des inconnues auxiliaires (servant à trouver a au final)
et prétendre que p s'écrirait m c'est le plantage assuré.

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 18:59

ben non avec mes "et" je résous de façon indépendante les équations 7p + 1 = 9q et 9q = 11p - 1

j'ai gardé "le même" q juste pour me simplifier la vie ...

carpediem @ 29-03-2017 à 11:43

...
donc il reste à résoudre de la même façon : a = 63p + 36 et a = 99q + 54

en faisant attention que ...

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 19:00

et c'est l'application de : p et q et r <=> (p et q) et (q et r) ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 30-03-17 à 19:31

je me demande bien quel bazar tordu tu vas faire pour récupérer tes billes à la fin avec des équations indépendantes ....

je ne comprends absolument pas du tout une telle méthode et je doute qu'elle aboutisse vraiment à quelque chose...
(et si je ne comprends pas, je pense que sosomomo10 comprendrait encore moins cette histoire là !!)


c'est un peu comme en cherchant les intersections de y = f(x) et y = g(x)

les x et y de l'un n'ont pas de raison de correspondre en quoi que ce soit aux x et y de l'autre (variables muettes)

par contre le simple fait de chercher le point d'intersection fixe que le x de l'un est exactement le x de l'autre.
et le y de l'un exactement le y de l'autre car ce sont les coordonnées du point d'intersection.

ce ne sont plus du tout des variables muettes mais alors des inconnues.

et là c'est exactement pareil avec les p et q.
tu prétends que tu es capable de trouver le point d'intersection en considérant
que "y = f(x) et u = g(v)" en quelque sorte ... (vu que tu considères que c'est des variables muettes on peut les appeler comme on veut)

Posté par
carpediem
re : Pgcd 30-03-17 à 20:33

mais bon sang de bonsoir

carpediem @ 29-03-2017 à 11:43

[a = 1 [7] et a = 0 [9] et a = -1 [11] ]<=> [(a = 1 [7] et a = 0 [9]) et (a = 0 [9] et a = -1 [11]) ]

a = 1 [7] et a = 0 [9] <=> a = 7p + 1 et a = 9q => 9q - 7p = 1

7 et 9 sont premiers entre eux donc on sait qu'il y a des solutions :

9q - 7p = 1 <=> 2q + 7(q - p) = 1 <= q = 4 et q - p = -1 <=> q = 4 et p = 5

9q - 7p = 1
9(4) - 7(5) = 1

=> 9(q - 4) = 7(p - 5) (par soustraction)

théorème de Gauss => q = 7k + 4 et p = 9k + 5


a = 7p + 1 = 7(9k + 5) + 1 = 63k + 36
a = 9q = 9(7k + 4) = 63k + 36



a = 0 [9] et a = -1 [11] <=>a = 9q  et a = 11p - 1 => 9q -11p = -1

9 et 11 sont premiers donc on sait qu'il y a des solutions :

9q - 11p = -1 <=> 9(q - p) - 2p = -1 <= p = 5 et q - p = 1 <=> p = 5 et q = 6

9q - 11p = -1
9(6) - 11(5) = -1

=> 9(q - 6) = 11(p - 5) (par soustraction)

théorème de Gauss => q = 11k + 6 et p = 9k + 5

a = 9q = 9(11k + 6) = 99k + 54
a = 11p - 1 = 11(9k + 5) = 99k + 54



donc il reste à résoudre de la même façon : a = 63p + 36 et a = 99q + 54

en faisant attention que ...


les parties bleues démontrent les résultats en rouge qui les suivent respectivement

les lettres p et q ne servent qu'à obtenir les résultats intermédiaires en rouge ... et sont donc des variables muettes de chaque démonstration

l'intersection des ensembles A, B et C est incluse dans l'intersection U de A et B et V de A et C et il suffit alors de chercher l'intersection de U et V !!



maintenant je suis bien d'accord que chercher A et B  puis ensuite (A et B) et C est tout aussi suffisant ...

et je ne dis donc pas que j'ai fait au plus simple

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pgcd 30-03-17 à 20:55

je me demande bien comment tu vas faire en pratique tes intersections d'ensembles ...
à part lister des valeurs numériques et "regarder", ce qui est encore pire que faire brutalement des essais et basta.
(c'est à dire lister des multiples de 7, de 9 et de 13 "à la sauvage")
vu que on a fait des tas de calculs "en trop"

c'est le principe même de la méthode qui pêche

(avec tes équation indépendantes qui ne devraient pas l'être)

Posté par
carpediem
re : Pgcd 31-03-17 à 18:16

ben non :

Citation :
donc il reste à résoudre de la même façon : a = 63p + 36 et a = 99q + 54

en faisant attention que ...


dans a il y a tous les multiples de neuf dans les deux expressions avec :

dans la première les multiples de 7 + 1
dans la deuxième les multiples de 11 - 1



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