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Niveau Licence Maths 1e ann
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Pgcd

Posté par
AyoubAnnacik
19-05-22 à 22:13

Paisible journée!
Pourquoi on a d/a et d/b alors d/pgcd(a,b) ?

Posté par
LeHibou
re : Pgcd 19-05-22 à 23:09

Bonsoir,

Utilise le théorème de Bachet-Bézout :
a et b étant deux entiers,  il existe deux autres entiers m et n tels que am + bn = pgcd(a,b)
A partir de là, c'est presque immédiat.

Posté par
GBZM
re : Pgcd 19-05-22 à 23:23

Bonsoir,

Si on définit (ce qui est finalement la meilleure définition) "d est pgcd de a et b" comme "d est diviseur commun de a et b et tout diviseur commun de a et b divise d" (autrement dit, d est le plus grand diviseur commun au sens de la relation de divisibilité), alors la propriété que tu cites fait partie de la définition.

Mais si on définit le pgcd de deux entiers naturels (non nuls) comme le plus grand diviseur commun au sens de l'ordre standard sur les entiers, alors ça n'a rien d'évident.

Ce qui se passe, c'est que l'algorithme d'Euclide garantit l'existence du pgcd de deux entiers au sens défini plus haut, et que ce  pgcd est aussi le plus grand au sens de l'ordre standard parce que si c divise d et que d > 0, alors c est inférieur ou égal à d (pour l'ordre standard).

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pgcd 22-05-22 à 23:51

Merci beaucoup!!
Maintenant pourquoi on a |ab|=pgcd(a,b).ppcm(a,b) ?

Posté par
LeHibou
re : Pgcd 23-05-22 à 06:53

Citation :
Maintenant pourquoi on a |ab|=pgcd(a,b).ppcm(a,b) ?

C'est une autre question, pour cela tu dois créer un nouveau sujet.

Posté par
GBZM
re : Pgcd 23-05-22 à 08:36

Si on reste avec la méthode que j'ai suggérée, il suffit de vérifier que v_p(ab)=v_p((a\wedge b)(a\vee b)) pour tout premier p.
Mais on peut aussi procéder directement .

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pgcd 29-05-22 à 22:46

Merci GBZM!!

Posté par
AyoubAnnacik
re : Pgcd 29-05-22 à 23:05

J'ai une autre question cher GBZM dans un autre sujet,
Pour  x appertient à [0 , 2.pi] comment peut-on résoudre cette équation?
cos(x) + sin (x) + 1 =0

Posté par
GBZM
re : Pgcd 30-05-22 à 07:34

Là, c'est vraiment un sujet complètement différent !



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