bonjour
permettez moi de vous répondre.

A=2n+1
B=5n-1

on a:

5A-2B=5(2n+1)-2(5n-1)
          = 10n+5-10n+2
          =7
donc

5A-2B=7

donc d=pgcd(A,B) alors d divise A et d divise B

donc d divise 5A-2B=7

donc d divise 7

comme 7 est premier alors d=1 ou d=-1 ou d=7

donc
ou bienA et B sont premiers entre eux (cas n=1 A=3 et B=4)
ou bien pgcd(A,B)=7 cas( n=3 A=7 et B=14)

donc la première réponse est fausse.

si d=7 alors il existe A' et B' premiers entre eux tels que:

A=7A' et B=7B'
et pgcd(A',B')=1.

comme 5A-2B=7

donc 5A'-2B'=1

comme 1=5-4

donc 5A'-2B'=5-4

donc 5(A'-1)-2(B'-2)=0

donc 5(A'-1)=2(B'-2)

donc 5 divise 2(B'-2)
comme 5 est premier avec 2
donc 5 divise B'-2

donc il existe k élément de Z tel que : B'-2=5k
B'=5k+2

B=7B'=35k+14=5n-1 donc 5n=35k+15

donc n=7k+3

ssi n=3(7)

donc la dernière réponse convient.

pour la deuxième réponse :

n=7k-11

donc A=14k-22+1=14k-21=7(2k-3) donc 7 divise A

B=5(7k-11)-1=35k-55-1=35k-56=7(5k-8)

donc 7 divise B

comme pgcd(A,B) = 1 ou -1 ou 7

donc pgcd(A,B)=7.

ce cas convient aussi.

en fait si l'on remarque que -11=-14+3

alors n=7k-11=7k-14+3=7(k-2)+3

donc ce cas rejoint le cas général de la quatrième question où:
n=3(7)

voila

je vous prie d'ccépter mes remerciements

bon courage.


la troisième réponse est forcément fausse puisque que nous avons trous
des cas de solution.