PGCD(a,b) = 1 ou 19
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pgcd arithmetique
Posté par aya4545
bonjour
j ai besoin de votre aide de terminer la derniere question
a et b deux entiers naturels non nuls
1) montrer que
2)
ce que j ai fait
2) reciproque
direct si pgcd(A.B)=1 on montre facilement que pgcd(a;b)=1
je n arrive pas à montrer que et merci
salut
si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b et en particulier A et B ...
si a et b sont premiers entre eux alors d'après 1/ pgcd (A, B) vaut 1 ou 19
pour 1/ il serait bien de mettre en valeur certain multiple de 19 comme 7 * 11a = 19 * 4a
A = 11a + 2b
B = 18a + 5b
donc
5A - 2B = 19a
11B - 18A = 19b
on en déduit immédiatement que :
1/ 9 divise A <=> 19 divise B
2/ pgcd (A, B) 
{1, 19} <=> pgcd (a, b) = 1
carpediem @ 24-03-2022 à 18:12
A = 11a + 2b
B = 18a + 5b
donc
5A - 2B = 19a
11B - 18A = 19b
on en déduit immédiatement que :
1/ 19 divise A <=> 19 divise B
2/ pgcd (A, B) {1, 19} <=> pgcd (a, b) = 1
A = 11a + 2b
B = 18a + 5b
donc
5A - 2B = 19a
11B - 18A = 19b
on en déduit immédiatement que :
1/ 19 divise A <=> 19 divise B
2/ pgcd (A, B)
{1, 19} <=> pgcd (a, b) = 1Bonsoir à tous,
La propriété énoncée dans la question 2 me semble fausse :
Si a = b = 19, alors A = 13
19 et B = 2319.
PGCD(A, B) = 19, mais PGCD(a, b) n'est pas égal à 1.
Par ailleurs je suis un peu embrouillée dans les réponses.
Il y a deux questions dans l'énoncé.
Je n'ai pas compris si les intervenants parlent de la 1ère ou de la seconde question.
La réponse donnée par aya4545 pour 1) me semble correcte, même si elle peut être améliorée.
salut
merci pour votre aide
donc l implication n est pas vraie preuve le contre exemple donné par Sylvieg
Oui. d'où ta difficulté à le démontrer 
Pour la question 1), à partir de a + 14b 
0 [19], multiplier par 18 (qui est congru à -1) revient à multiplier par -1, c'est à dire écrire les opposés :
-a - 14b 0 [19].
D'où 18a + 5b 0 [19]
Je trouve les calculs plus simples.