bonjour Sylvieg ,sauf erreur

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2730

Bravo !
Cependant, ce n'est pas une énigme, mais un exercice.
Une petite démonstration est demandée pour justifier le résultat

Joli petit problème. Je me demande si on peux entièrement se passer de calculer le PGCD d'un sous ensemble de V.

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Par le petit théorème de Fermat on montre que tout nombre premier p tel que p-1 est un diviseur de 24 est un diviseur du PGCD.

En effet:

Ces nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 13.
Le PGCD est donc un multiple de 2x3x5x7x13 = 2730.

En calculant le PGCD de 2^25-2 et 3^25-3 on obtient 2730, le PGCD est donc un diviseur de 2730.

Le PGCD est donc 2730.

Bravo aussi LittleFox
Je ne pense pas qu'on puisse se passer de décomposer quelques éléments de V. Mais sait-on jamais ?
Quelque chose me dérange dans ta démonstration :

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Comment justifier ?
On utilise qu'on élève à la puissance q ; puis on multiplie par quoi ?
As-tu fait autrement ?

J'aurais sans doute du préciser qu'on essaye de rester au niveau d'un élève de terminale qui maitrise les congruences.

@Sylvieg
Ce n'est pas vraiment légal de multiplier des entiers par mais si on s'assure que les deux côté l'exposant est positif, ça marche

C'est légal quand on accepte d'utiliser certaines propriétés de /p avec p 1er

En terminale, une option possible est la factorisation de x^q-1 par x-1 :
x^q-1 = (x-1) K(x) où K(x) est un polynôme à coefficients entiers (en fait tous égaux à 1).
Soit N = K(n^p-1). N est un entier.
n²⁵-n = n(n^(p-1)q - 1) = n(n^p-1 - 1)N = (n^p-n)N.

C'est un peu alambiqué. En fait j'avais vu la factorisation pour chaque valeur utile de p.

Je ne suis pas certaine que Fermat soit encore au programme en terminale.
On peut s'en passer, c'est lourd, en utilisant des tables de congruences.