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pgcd de trois entiers bis

Posté par
Silaty
08-01-22 à 00:17

Bonsoir les amis j'ai besoin de votre aide sur cet exercice.
Déterminer le triplet (a;b;c) sachant que PGCD (a;b;c)=2 et ca-ba=12aa.
Merci d'avance.

* Modération > titre modifié. Merci d'éviter de donner le même titre à deux sujets différents *
* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : pgcd de trois entiers 08-01-22 à 08:41

Bonjour,
Et si tu donnais suite à l'exercice précédent avant d'en poster un autre sans aucune trace de recherche ?

Posté par
Silaty
re : pgcd de trois entiers bis 12-01-22 à 11:15

Salut quelq'un a-t-il une idée sur cet exercice

Posté par
ty59847
re : pgcd de trois entiers bis 12-01-22 à 12:03

En tâtonnant 2 minutes, on trouve 1 triplet ; et on voit très vite que s'il y a un 2ème triplet, les calculs vont être lourds.

L'énoncé nous dit : trouver LE triplet,   et pas LES tripletS.

Donc on va se contenter de celui trouvé en 2 minutes.

Posté par
Silaty
re : pgcd de trois entiers bis 12-01-22 à 13:26

ty59847 salut comment as-tu trouvé ce triplet

Posté par
ty59847
re : pgcd de trois entiers bis 12-01-22 à 13:45

On nous dit que  pgcd(a,b,c)=2
Donc les 3 nombres doivent être pairs.
Donc a = 2  ou 4 ou 6 ou 8 ou ...

J'ai commencé à chercher avec a=2, ça ne paraît pas très original.

On cherche donc 2 nombres pairs b et c, tels que c²-b²=48.
Miracle, en faisant quelques calculs (faisables de tête, pendant que tu marches entre la salle de profs et la salle de classe), on trouve une solution.

Posté par
ty59847
re : pgcd de trois entiers bis 12-01-22 à 13:48

on cherche b et c.
Visiblement, b doit être plus petit que c
Et b doit être pair, multiple non nul de 2.
si b=2, alors b²=4, b²+48=52,  ce n'est pas un carré parfait. Perdu.
Essayons le nombre suivant, faisons quelques essais.
Avec un peu de chance, la pêche va être bonne.

Posté par
Silaty
re : pgcd de trois entiers bis 13-01-22 à 07:39

ty59847 oui ta méthode est acceptable, elle m'a permit de trouver un triplet (2;4;8) solution.
Bon je n'ai pas tenté de voir s'il y a d'autres triplets qui sont solution.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : pgcd de trois entiers bis 13-01-22 à 08:20

Bonjour,
Voici ce que j'avais tenté :
pgcd(b,c) = 2g et a = 2a'.
b = 2gb' et c = 2gc' avec b' et c' premiers entre eux et a' et g premiers entre eux.
En remplaçant dans ca-ba=12aa, on trouve que g2a' divise 12.
D'où g = 1 ou 2.
1er cas : g = 2
Alors a' = 1, et on trouve le triplet (2,4,8).
Mais en un peu plus de 2 minutes
2nd cas : g =1
b' et c' sont de la forme 6d1.
Et je n'ai rien trouvé d'autre

Posté par
ty59847
re : pgcd de trois entiers bis 13-01-22 à 09:01

' Trouver la solution ', c'est une formulation que je n'aime pas du tout, si on n'a pas justifié / démontré auparavant l'unicité de la solution.

Toi, tu es parti vers la piste : trouver les solutions. Et dans ce cas, il faut effectivement établir quelques règles générales.

Moi, je suis parti vers la piste : trouver une solution. Je regarde les petits nombres, et je me moque de savoir s'il y aura d'autres solutions.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : pgcd de trois entiers bis 13-01-22 à 09:36

Ma dernière phrase prête peut-être à confusion :
Je n'ai pas réussi à trouver quelque chose d'intéressant.

Posté par
carpediem
re : pgcd de trois entiers bis 13-01-22 à 19:51

salut

je suis, je suis ... mais n'ayant guère plus d'idée que ça alors JFF :

ty59847 @ 13-01-2022 à 09:01

' Trouver la solution ', c'est une formulation que je n'aime pas du tout, si on n'a pas justifié / démontré auparavant l'unicité de la solution.

Toi, tu es parti vers la piste : trouver les solutions. oui mais Sylvieg est généreuse et ne rechigne pas à la tache!!

Moi, je suis parti vers la piste : trouver une solution. Je regarde les petits nombres, et je me moque de savoir s'il y aura d'autres solutions.
certes mezalor il y a blème quand même : qu'est-ce qui affirme que ta solution est la solution demandée par l'auteur du sujet ?

donc en proposant une (autre) solution que la solution demandée ben tu as faux !!

Posté par
ty59847
re : pgcd de trois entiers bis 14-01-22 à 08:59

Certes, si on veut.  Si il y avait plusieurs solutions, il y aurait ce risque.

En fait, selon moi, l'énoncé devrait être rédigé ainsi :
On admettra que cette équation admet une unique solution. Trouver cette solution.

Ou encore, quelque chose comme ça, mais j'aime moins :
Question 1 :Trouver une solution de cette équation.
Question 2 : Ecrire un programme Python pour vérifier s'il y a d'autres solutions vérifiant a<100, b<100 et c<100.

Posté par
Silaty
re : pgcd de trois entiers bis 14-01-22 à 10:55

ty59847 salut en fait l'énoncé demande de déterminer les triplets (a; b; c), j'ai fait une erreur de saisie.

Posté par
ty59847
re : pgcd de trois entiers bis 14-01-22 à 11:54

Là, ça devient nettement plus difficile. Montrer qu'il n'y en a pas d'autre, (ou bien, qui sait, trouver les autres) je sèche.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : pgcd de trois entiers bis 14-01-22 à 13:16

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