Inscription / Connexion Nouveau Sujet
PGCD en spé maths
Salut
Jai un exo de spé maths a faire et jarrive pas trop :
Soit a et b de entier naturel non nuls
1) Demontrer que : PGCD(15a+4b , 11a+3b) = PGCD (a,b)
2) Demontrer que : pour ton Y naturel : PGCD(a,b)=PGCD(a+Yb,b)
--------------------------------------------------
Donc pour le 1)
Jai commencer en disant kil fau prouver que :
D(a) "inter" D(b) "inclu" D(15a+4b) "inter" D(11a+3b)
Cela je pense avoir reussi !
Mais apres faut prouver que :
D(15a+4b) "inter" D(11a+3b) "inclu" D(a) "inter" D(b)
Et la je coince
-> je part de d apartien à D(15a+4b) "inter" D(11a+3b) [d apartien a N]
Donc d divise 15a+4b et 11a+3b
Mais je voi pas comment prouver que d divise donc a et b
Est ce que deja je suis bien parti ??
Quelqun pourrai maider ??
merci davance
a++
Il me semble que tu es bien parti, pour la suite si d divise 15a+4b et 11a+3b, tu sais qu'il divise 15a+4b-11a+3b=4a+b
donc d divise aussi 16a+4b(multiplie par 4)
donc d divise 16a+4b-(15a+4b)=a
Comme 15 et 11 sont premier entre eux tu peux obtenir par bezout u et v tel que 15u+11v=1
ainsi d divise (15a+4b)u+(11a+3b)v=a+(4u+3v)b
or d divise b donc d divise a
tu peux aussi voir c'est plus simple que a=3*(15a+4b)-4*(11a+3b) donc d divise a
parce qu'avant j'avais utilisé le résultat de la question 2 que je croyais acquis
Pour le 2 il suffit de voir que si d divise a+yb et b alors d divise a
or a+Yb=k*d et b=k'*d
donc a=k*d-Y*k'*d=(k-Y*k')*d donc d divise a
Annuler
connectez vous