j'ai peut-etre trouve la solution, soit d pgcd de a carre + b carre et a+b, on montre par l'algorithme d'euclide que d|2ab, puisque d|a+b qui est impair alors d|ab, puisque a et b premiers entre eux, alors d|a ou d|b, on prend d|a (a et b ont des roles symetriques)
d|a et d|a+b => d| (a+b)-a donc d|b, d'ou d| a et d|b => d = 1
(est-ce correct?)

ce n'est pas correct, le probleme est dans d|ab => d|a ou d|b
en effet d|6=2*3 et 2 et 3 premiers entre eux, d peut etre egal a 6 et ne diviser ni 2 ni 3

le passage de d|2ab a d|ab aussi, pour que cela soit vrai il faut que d!=1, or c'est ce que l'on veut montrer, (pourrait on utiliser un raisonnement par absurde?)

salut

tu peux déjà remarquer que si a et b sont premiers entre eux alors ils n'ont pas de diviseur pair

et que si a + b est impair alors exactement un des deux entiers a ou b est pair   (*)

il n'y a pas besoin de l'algorithme d'Euclide mais uniquement de la définition de divisibilité :

si d divise a^2 + b^2 et a + b alors par combinaison linéaire d divise (a + b)^2 - a^2 - b^2 = 2ab

et d'après (*) d est impair donc d divise 2ab => d divise ab

et pour trouver que d = 1?

d divise ab et d divise a + b donc d divise a(a + b) - ab = a^2

et de même divise b^2

or a et b sont premiers entre eux ...

merci beaucoup

de rien

Après quelques simulations numériques, semblent être tous premiers entre eux (Je n'ai vérifié que pour n=8, soit )
Que 2 élements contigus de cette liste soient premiers entre eux, ça c'est démontré d'après cet exercice. Mais tous premiers entre eux? Quelqu'un pour une piste?