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a) pgcd(363;484)=121 d'après l'algorithme d'euclide ?

On a 363=3*11² et 484=2²*11²

donc PGCD(363,484)=11²

b= d'autre part en sait que PGCD(a,b)=PGCD(a,b-a) qq soient a,b
éléments de Z.

donc PGCD(363,484)=PCGD(363,484-363)=PGCD(363,121)=121=484-363

donc 363 et 484 appartiennent à E.

2) le couple (n;n+1) appartient-il à S? Justifier votre réponse.?

n et n+1 sont forcément premiers entre eux car :

(n+1)-n=1

il existent donc u=1 et v=-1 tels que u(n+1)+vn=1 d'après le théorème
de Besoult (n+1) et n sont premiers entre eux.

donc PGCD(n+1,n)=1

d'autre part (n+1)-n=1

donc PGCD(n,n+1)=(n+1)-n=1 donc n et n+1 appartiennent à E donc E contient
Nx(N+1)=NxN* (produit cartésien de l'ensemble des entiers naturel
avec lui même diminué de 0).


3 a) monter que (x;y) appartient à E si il existe k non nul  
x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x)

comme PGCD(x,y)=y-x et que PGCD(x,y) divise x donc il exite k élément de
Z tel que x=k(y-x)

en écrivant y= y-x+x; on retranche et on ajoute x en même temps

on a y=y-x +k(y-x); on remplace x par k(y-x) car x=k(y-x)

donc y=(k+1)(y-x)

donc il existe kEZ tel que x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x)

b) en déduire pgcd(x;y)=k(k+1)(y-x) ?

cette relation pgcd(x;y)=k(k+1)(y-x) est impossible
car déjà pgcd(x;y)=(y-x) autrement k(k+1)=1 ce qui n'est pas possible
dans Z (k+1) serait alors l'inverse de k.

Je suppose qu'il y une erreur dans votre énoncé et c'est plutôt


PPCM(x,y)=k(k+1)(y-x) qu'il faut démontrer!

ceci étant vous avez la relation:

PGCD(a,b)PPCM(a,b)=ab

appliquée à x et y vous obtenez:

PGCD(x,y)PPCM(x,y)=(y-x)PPCM(x,y) car PGCD(x,y)=y-x

d'autre part x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x)

donc xy=k(k+1)(y-x)²

donc (y-x)PPCM(x,y)=k(k+1)(y-x)² comme x est différent de y
alors y-x est différent de 0 on peut simplifier y-x et on obtient:

PPCM(x,y)=k(k+1)(y-x)

c'est la relation recherchée.

4) en de diviseur de 228 D(228)={1;2;3;4;6;12;19;38;57;76;114;228}

228=2²*3*19

donc D(228)={1;2;3;4;6;12;19;38;57;76;114;228}

b) en déduire ensemble des couples de S tel que: ppcm(x;y)=228

ppcm(x;y)=228=k(k+1)(y-x)=3*4*19

k=3 et y-x=19

donc x=k(y-x)=3*19=57

y=4*19=76

voila je prie d'accépter mes remerciements.