Bonjour, j'ai un exercice à faire et je ne suis pas certain de mes réponses pourriez vous s'il vous plaît m'aider.

n désigne un entier naturel non nul. On considère l'équation (E) : 3x²+7y² = 10^2n où x et y sont des entiers relatifs.

1. a. Vérifier que 100 ≡ 2 [7 ].
J'ai simplement posé la division avec 100 en dividende et 7 en diviseur et j'obtiens un quotient de 14 et un reste de 2

b. Démontrer que si (x ; y) est solution de (E) alors 3x² ≡ 2n [7 ].
(x;y) vérifie (E) avec 3x² = 10^2n -7y²
Donc montrer que 3x² ≡ 2n [7 ] est équivalent à 10^2n -7y² ≡ 2^n
D'une part, 10^2n≡ 2^n
D'autre part, 7y²  ≡ 0[7] donc 10^2n -7y² ≡ 2^n[7] [bleu]

2. a. Étudier les puissances de 2 modulo 7.
[bleu]J'ai fait un tableau des congruences et j'obtiens n= 3+7k . Donc 2^n congrus 2^3k+r [7] congru (2³)^k * 2^r [7].
Donc, si n=3k+r alors 2^n congru à 2^r [7]

b. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne par 7 de 3x², x ∈Z ?
Ici, je n'ai pas vraiment répondu à la question. J'ai écrit : 3x² ≡ ...[7]
Dans le cas où (x;y) est solution de (E). Puisque 3x² ≡ 2^n[7] alors d'après la définition des congruences 3x² et 2^n ont les mêmes restes dans la division euclidienne par 7. Par conséquent les restes possibles sont S={1;2;4}

c. Que peut on conclure quant à l'équation (E) ?
Je n'ai pas trouvé


Merci beaucoup