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Niveau terminale
PGCD et théorème de Gauss
Posté par Audetteee
Bonjour!
J'ai un exercice de maths sur le théorème de Gauss entre autre. Merci pour votre aide.
Voici l'énoncé:
"n est un entier naturel compris entre 20 et 800. De plus, la division euclidienne de n par 60 donne pour reste 15 et la division euclidienne de n par 156 donne aussi pour reste 15. Déterminer n."
J'ai commencé en disant que n=60x + 15 et n=156y + 15
On en déduit que 60x + 15 = 156y + 15
Je pensais donc enlever les 15 de chaque côté du égal pu alors factoriser par 5 à gauche et 3 à droite ce qui donnerait : 5(12x +3) = 3(52x +5)
Mais je ne sais pas comment continuer.
Bonsoir,
mais tu n'as pas "enlevé" les 15 finalement ...
Je te propose :
60x + 15 = 156y + 15 
60x = 156y
Puis simplifie par ....
Et Gauss
J'arrive à 5×= 13y
PGCD(5;13)=1
Mais 5 ne divise pas 13. Donc le théorème de Gauss ne s'applique pas (il me semble)
Bonjour,
Je réponds en l'absence de co11.
Que veut dire ce "S =" ?
Tu trouves x= 13k et y = 5k avec k qui est quelque part. à préciser.
Ce qu'on demande de trouver, c'est n.
Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
J'écris S pour parler de l'ensemble des solutions de 5x = 13y
Pour k, sachant que n est compris entre 20 et 800 j'ai fait:
20《n《800
20《5x《800
20《5 × 13k《800
20《65k《800
▪ 65k》20
k》0,31 mais on prend 1 car on cherche un entier
▪65k《800
k《12,31 mais on prend 12
Donc x =13k et y=5k avec k appartenant à l'intervalle [1;12]
Cela ne mène à rien..
Bonjour,
en l'absence des autres :
n n'est pas égal à 5x !
relis ton tout premier message pour savoir comment s'écrit n en fonction de x.
Bonsoir,
vite fait un petit rappel de ton premier message que tu as perdu de vue je crois :
Citation :
J'ai commencé en disant que n=60x + 15 et n=156y + 15
J'ai commencé en disant que n=60x + 15 et n=156y + 15
Ah [b]mathafou[/b , j'ai zappé ta dernière ligne 
Citation :
relis ton tout premier message pour savoir comment s'écrit n en fonction de x.
relis ton tout premier message pour savoir comment s'écrit n en fonction de x.
D'accord. Donc si je repars avec n=60x+15 ça me donne
60×13k + 15 =780k + 15
Donc ▪︎780k+15》20
▪︎ 780k+15《800
Ce qui donne
▪︎k》 0.006 (soit k》1 car on veut un entier)
▪︎k《1.006 (soit k 《1)
On en déduit donc que k=1
En remplaçant j'obtiens n=60×13×1+15=795
n=156×5×1+15=795
Cela fonctionne!
Confirmez-vous que n est bien égal à 795?
Bonjour,
Je confirme.
Et toi, peux-tu préciser si le titre "PGCD et théorème de Gauss" est bien celui de l'exercice ou du chapitre.
Ou est-ce toi qui l'a créé ?
Un PPCM permet de résoudre un peu plus rapidement.
Pour la confirmation, tu n'avais pas besoin de nous :
795 est bien compris entre 20 et 800.
Le reste de la division de 795 par 60 est ... .
Le reste de la division de 795 par 156 est ... .
** Bonjour,
la confirmation concerne les calculs et l'unicité 
ce n'est pas parce que cette solution convient que ce serait la seule
(ça c'est par la démonstration précédente et l'unicite de la solution k = 1)
L'énoncé sous-entend l'unicité :
Citation :
n est un entier naturel compris entre 20 et 800. De plus, la division euclidienne de n par 60 donne pour reste 15 et la division euclidienne de n par 156 donne aussi pour reste 15. Déterminer n.
Mais, effectivement, c'est mieux de le démontrer n est un entier naturel compris entre 20 et 800. De plus, la division euclidienne de n par 60 donne pour reste 15 et la division euclidienne de n par 156 donne aussi pour reste 15. Déterminer n.
avec un tel énoncé ça ne gêne absolument pas qu'il y ait plusieurs solutions ...
voire même aucune.
(mais on ne va pas relancer le débat deja fait là dessus, à propos de ce que dit l'énoncé par rapport à ce qu'il sous entend, et dans lequel chacun reste sur ses positions)
Merci à tous pour votre aide.
J'ai donné ce titre car ce sont les notions principales du chapitre et ne sachant pas trop quoi mettre. (Je ne sais pas ce que signifie PPCM..)
S'il est possible de le modifier je le ferai volontier si vous trouvez que PPCM est plus approprié
Rebonjour à vous tous,
je viens de lire le programme de terminale (math expert je suppose ...). Il ne semble faire aucune allusion au PPCM, donc notre Audetteee ne rencontrera peut-être pas cette notion, en tout cas cette année.
Cela dit, étant en retraite, des trucs peuvent m'échapper, aïe !!
même en spé math (ancien programme) le ppcm n'y était pas ... alors qu'il apparaissait dans un certain nombre d'exo ... et qu'il est fort pratique comme pour cet exo
dans le programme il faut distinguer les notions exigibles (que l'élève doit aborder et connaitre) des notions qui peuvent ... être abordées !!! (peuvent être vues mais ne sont pas exigibles et donc ne "devraient pas apparaitre au bac") ...
mais bon si on veut regarder la cohérence des programmes il y aurait de quoi causer ...