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PGCD/Gauss/D

Posté par
antetokounmpo
20-05-19 à 18:33

bonjour,

j'ai un DM à faire en spé, et je pense être extremement proche d'y arriver. voici l'énoncé:

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j) (c'est des vecteurs i et j mais je sais pas comment faire la flèche de vecteur en latex)

On considère une droite d'équation réduite (E): y=\frac{m}{n}x+\frac{p}{q}, où m et p sont des entiers relatifs non nuls et où n et q sont des entiers naturels non nuls tels que PGCD(m;n)=PGCD(p;q)=1

1. prouver que (E) équivaut à -qmx+nqy=np.

très simple

2. Prouver que: (a) PGCD(-qm;nq)=q

très simple en faisant:

PGCD(-qm;nq) =qPGCD(m;n)=q\times 1=q

(b) q|np <=> q|n

là c'est ni plus ni moins que le théorème de Gauss, pas très difficile...


3. Déduire, une condition nécessaire et suffisante sur les entiers naturels n et q pour que la droite comporte au moins un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

ici j'ai factorisé par q dans l'équation: -qmx+nqy=np

ça donne: q(ny-mx)=np

si q|n alors passe forcément par un point avec des coordonnées mais en essayant sur geogebra avec les curseurs, en mettant q=4 et n=2, on a bien au moins un point avec des coordonnées relatives... c'est peut être que q|n et n|q, mais il est bien écrit une condition...

je vois pas vraiment où aller HELP

Posté par
antetokounmpo
re : PGCD/Gauss/D 20-05-19 à 18:57

Posté par
antetokounmpo
re : PGCD/Gauss/D 20-05-19 à 20:11

je me suis trompé sur geogebra... ca suffisait donc.

Posté par
flight
re : PGCD/Gauss/D 20-05-19 à 20:22

salut

3) il faut que np soit un multiple du pgcd de  qm et nq   pour que  -qm.x + nq.y = n.p



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