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pgcd ppcm
Bonjour,
Je n'arrive pas du tout à comprendre cet exercice:
Si deux entiers naturels sont premiers entre eux, montrer qu'il en est de même de leur
somme et de leur produit.
En déduire l'ensemble des paires {a,b} d'entiers naturels tels que:
a+b=96
PPCM(a,b)= 180
Je pense qu'il faut montrer que a+b et a sont premiers entre eux puis a+b et b sont premiers entre eux et je montre que a+b et ab sont premiers entre eux en multipliant (a+b)u+av=1 et (a+b)u'+bv'=1. Pas sur...
Mais je ne comprends pas du tout comment trouver l'ensemble des paires {a,b}. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance.
Bonsoir,
Soit un diviseur commun de
et
:
divise
et
divise
Donc divise
Or donc
Donc et
C' est un début...
Pour la suite:
Soit :
avec
d' où
Mais d' après la question précédente,
On en déduit
D' où qui donne les couples
;
et
et les couples :
et
.
On vérifie que ces deux couples conviennent.
C'est impeccable pour la deuxième partie, par contre je ne comprends pas vraiment ça: Soit d un diviseur commun de a+b et ab:
d divise a(a+b)-ab=a^2 et d divise b(a+b)^2-ab=b^2
Une erreur de frappe:
Il fallait lire:
divise
et
divise
Si divise
et
entiers relatifs, alors
divise
avec
et
entiers entiers relatifs.
Mais d' après la question précédente, PGCD(a',b')=1\Longrightarrow PGCD(a'+b',a'b')=1
On en déduit d=PGCD(180,96)=12
à ce niveau je ne comprend pas pourquoi on peut déduire que d= pgcd(180,12)
merci
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