Bonjour à tous, je suis de nouveau bloquée sur mon DM de spé! J'ai besoin de votre aide !
Le but de ce problème est d'établir quelques résultats sur la suite de couples d'entiers (an;bn) tels que (1 + √2)^n = an + bn√2.
1. Existence d'une telle suite.
(a) Donner (a0;b0), (a1;b1) puis, en développant (1 + √2)^2, donner (a2;b2).
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un couple d'entiers (an;bn) tels que
(1 + √2)n = an + bn√2.
(c) Identifier la matrice A telle que, pour tout entier naturel n,
an+1
bn+1= Aan
bn
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les entiers an et bn sont premiers entre eux.
3. Montrer que A est inversible et calculer son inverse.
(a) Existe t-il un couple d'entiers (u1;v1) tels que u1 + v1√2 = (1 + √2)^−1?
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, (A^−1)^n x A^n = I2, où I2 est la matrice identité d'ordre 2.
On notera alors A^−n, la matrice (A^−1)^n.
(c) Soit (un;vn), le couple de réels tels que un = A^-n 1
vn 0
i. Montrer que, pour tout entier naturel n, un et vn sont des entiers relatifs.
ii. Émettre une conjecture sur le terme général de la suite ((an + bn√2)(un + vn√2)) (n∈N)
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