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PGCD,système,matrice
Bonjour à tous, je suis de nouveau bloquée sur mon DM de spé! J'ai besoin de votre aide !
Le but de ce problème est d'établir quelques résultats sur la suite de couples d'entiers (an;bn) tels que (1 + √2)^n = an + bn√2.
1. Existence d'une telle suite.
(a) Donner (a0;b0), (a1;b1) puis, en développant (1 + √2)^2, donner (a2;b2).
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un couple d'entiers (an;bn) tels que
(1 + √2)n = an + bn√2.
(c) Identifier la matrice A telle que, pour tout entier naturel n,
an+1
bn+1= Aan
bn
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les entiers an et bn sont premiers entre eux.
3. Montrer que A est inversible et calculer son inverse.
(a) Existe t-il un couple d'entiers (u1;v1) tels que u1 + v1√2 = (1 + √2)^−1?
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, (A^−1)^n x A^n = I2, où I2 est la matrice identité d'ordre 2.
On notera alors A^−n, la matrice (A^−1)^n.
(c) Soit (un;vn), le couple de réels tels que un = A^-n 1
vn 0
i. Montrer que, pour tout entier naturel n, un et vn sont des entiers relatifs.
ii. Émettre une conjecture sur le terme général de la suite ((an + bn√2)(un + vn√2)) (n∈N)
.
Élémentaire ??
Pour l'instant j'ai fais la question 1 mais les réponses me paraissent bizarre...
J'ai :
a0 =b0√2 +1
b0=((1-a0)√2)/2
a1 = b1 2√2 +1
b1 = (1+√2 -a1)/√2
a2 = b2√2 +3-2√2
b2 =(3+2√2-a2)/√2
Mais les résultats sont vraiment bizarres... je ne pense pas que ce soit ça
n'importe quoi ... mais as-tu compris ce que tu écris !!!
pour tout entier n on pose
il suffit de remplacer n par 0, puis 1, puis 2 ... et de retourner au collège pour réviser les règles de calcul sur les exposants et/ou de calculer !!!
Ben c'est ce que j'ai fais.... y'a quoi de faux ?
(1 + \sqrt 2)^0 = a_0 + b_0\sqrt 2
1 = a_0 + b_0\sqrt2 non ?
Mais donc ce n'est que de la déduction...
(1+√2 )^1 = a1 + b1√2
1+√2 =a1 + b1√2 ici a1 = 1 et b1 = 1 ?
(1+√2 )^2 = a2 + b2√2
3 + 2√2 = a2 + b2√2 ici a2 = 3 et b2 = 2 ?
parce qu'un raisonnement n'est pas une suite de déductions ?
d'autre part il ne faudrait pas oublier que a_n et b_n sont entiers ....
Oui c'est vrai. Merci.
Pour la récurrence d'après, j'ai fais l'initialisation avec n = 0
Pour l'hérédité j'ai fais :
On suppose qu'il existe un entier n tel que Pn soit vrai.
(1+√2 )^n = an + bn√2
(1+√2 )^n x (1+√2 ) = (an + bn√2 )(1+√2 )
(1+√2 )^n+1 = an + an√2 + bn√2 + 2bn mais du coup comment je fais ?
C'est ce que j'ai fais, j'ai développé le côté droit de l'équation, et j'ai ce qui est écrit dans le message d'avant :
(1+√2)^n+1 = an + an√2 + bn√2 + 2bn donc ça ne va pas...
Puis-je avoir la suite de cet exercice svp, j'ai le même devoir à faire pour cette rentrée et je suis bloqué sur le fait de comment montrer qu'il existe deux réels an et bn tels que (1+
2)n=an+bn2
Bonjour et bienvenue
je crois que tu as mal compris la finalité de notre site
Nous ne distribuons pas des corrigés d'exercices, mais par contre nous voulons bien t'aider pour que tu trouves la solution à ton problème ...
il va falloir que tu montres ce que tu as déjà rédigé et également où tu bloques exactement.
Bonjour,
(1+√2)^n+1 = an + an√2 + bn√2 + 2bn
Et donc ? Continue ton calcul !
Puis regarde ce que tu veux démontrer...
Re bonjour à vous,
Oui oui j'avais compris le système, parce que je veux comprendre c'est surtout ça.
Du coup j'en suis arrivé à trouver que :
an+1+bn+12=(1+2)an+(2+2)bn
Mais je sais pas comment continuer après cela ..
Vraisemblablement, tu n'as pas compris ce que tu souhaites démontrer...
Tu dois démontrer qu'il existe un couple d'entiers (an;bn) tels que :
(1+2)^n = an + bn2.
Crois-tu qu'en écrivant (1+2)an+(2+2)bn de la sorte, tu es plus avancé ??
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