Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

PGCD,système,matrice

Posté par
sosomomo10
26-03-17 à 10:47

Bonjour à tous, je suis de nouveau bloquée sur mon DM de spé! J'ai besoin de votre aide !

Le but de ce problème est d'établir quelques résultats sur la suite de couples d'entiers (an;bn) tels que (1 + √2)^n = an + bn√2.

1. Existence d'une telle suite.
(a) Donner (a0;b0), (a1;b1) puis, en développant (1 + √2)^2, donner (a2;b2).
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un couple d'entiers (an;bn) tels que
(1 + √2)n = an + bn√2.
(c) Identifier la matrice A telle que, pour tout entier naturel n,
an+1
bn+1= Aan
                   bn

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les entiers an et bn sont premiers entre eux.

3. Montrer que A est inversible et calculer son inverse.
(a) Existe t-il un couple d'entiers (u1;v1) tels que u1 + v1√2 = (1 + √2)^−1?
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, (A^−1)^n x A^n = I2, où I2 est la matrice identité d'ordre 2.

On notera alors A^−n, la matrice (A^−1)^n.

(c) Soit (un;vn), le couple de réels tels que un = A^-n 1
                                                                                             vn                 0

i. Montrer que, pour tout entier naturel n, un et vn sont des entiers relatifs.
ii. Émettre une conjecture sur le terme général de la suite ((an + bn√2)(un + vn√2)) (n∈N)
.

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 11:26

salut

c'est élémentaire ... alors qu'as-tu fait ?

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 11:47

Élémentaire ??

Pour l'instant j'ai fais la question 1 mais les réponses me paraissent bizarre...

J'ai :
a0 =b0√2 +1
b0=((1-a0)√2)/2

a1 = b1 2√2 +1
b1 = (1+√2 -a1)/√2

a2 = b2√2 +3-2√2
b2 =(3+2√2-a2)/√2

Mais les résultats sont vraiment bizarres... je ne pense pas que ce soit ça

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 12:18

n'importe quoi ... mais as-tu compris ce que tu écris !!!

pour tout entier n on pose (1 + \sqrt 2)^n = a_n + b_n\sqrt 2

il suffit de remplacer n par 0, puis 1, puis 2 ... et de retourner au collège pour réviser les règles de calcul sur les exposants et/ou de calculer !!!

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 13:51

Ben c'est ce que j'ai fais.... y'a quoi de faux ?

(1 + \sqrt 2)^0 = a_0 + b_0\sqrt 2
1 = a_0 + b_0\sqrt2  non ?

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 14:08

et alors ? tu ne sais pas déterminer a_0 et b_0 ?

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 14:09

On a alors :

a0 = 1 ou b0 = (√2 )/2 ?

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 14:10

n'importe quoi ...

ne sais-tu pas que 1 = 1 + 0 \sqrt 2 ?

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 14:19

Mais donc ce n'est que de la déduction...

(1+√2 )^1 = a1 + b1√2
1+√2 =a1 + b1√2  ici a1 = 1 et b1 = 1 ?

(1+√2 )^2 = a2 + b2√2
3 + 2√2  = a2 + b2√2  ici a2 = 3 et b2 = 2 ?

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 14:31

parce qu'un raisonnement n'est pas une suite de déductions ?

d'autre part il ne faudrait pas oublier que a_n et b_n sont entiers ....

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 14:38

Oui c'est vrai. Merci.

Pour la récurrence d'après, j'ai fais l'initialisation avec n = 0

Pour l'hérédité j'ai fais :

On suppose qu'il existe un entier n tel que Pn soit vrai.
(1+√2 )^n = an + bn√2
(1+√2 )^n x (1+√2 ) = (an + bn√2 )(1+√2 )
(1+√2 )^n+1 = an + an√2  + bn√2  + 2bn mais du coup comment je fais ?

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 16:47

ben a_{n + 1} + b_{n + 1} \sqrt 2 = (1 + \sqrt 2)^{n + 1} = (1 + \sqrt 2)(1 + \sqrt 2)^n = (1 + \sqrt 2)(a_n + b_n \sqrt 2) = ...

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 17:07

C'est ce que j'ai fais, j'ai développé le côté droit de l'équation, et j'ai ce qui est écrit dans le message d'avant :
(1+√2)^n+1 = an + an√2 + bn√2 + 2bn donc ça ne va pas...

Posté par
carpediem
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 17:15

Posté par
sosomomo10
re : PGCD,système,matrice 26-03-17 à 17:23

???

Posté par
leur2lapero
re : PGCD,système,matrice 27-07-21 à 18:49

Puis-je avoir la suite de cet exercice svp, j'ai le même devoir à faire pour cette rentrée et je suis bloqué sur le fait de comment montrer qu'il existe deux réels an et bn tels que (1+2)n=an+bn2

Posté par
malou Webmaster
re : PGCD,système,matrice 27-07-21 à 18:58

Bonjour et bienvenue
je crois que tu as mal compris la finalité de notre site
Nous ne distribuons pas des corrigés d'exercices, mais par contre nous voulons bien t'aider pour que tu trouves la solution à ton problème ...
il va falloir que tu montres ce que tu as déjà rédigé et également où tu bloques exactement.

Posté par
fenamat84
re : PGCD,système,matrice 27-07-21 à 21:37

Bonjour,

Citation :
(1+√2)^n+1 = an + an√2 + bn√2 + 2bn

Et donc ? Continue ton calcul !

Puis regarde ce que tu veux démontrer...

Posté par
leur2lapero
re : PGCD,système,matrice 28-07-21 à 12:17

Re bonjour à vous,

Oui oui j'avais compris le système, parce que je veux comprendre c'est surtout ça.

Du coup j'en suis arrivé à trouver que :

an+1+bn+12=(1+2)an+(2+2)bn

Mais je sais pas comment continuer après cela ..

Posté par
leur2lapero
re : PGCD,système,matrice 28-07-21 à 16:13

??

Posté par
fenamat84
re : PGCD,système,matrice 28-07-21 à 17:03

Vraisemblablement, tu n'as pas compris ce que tu souhaites démontrer...

Tu dois démontrer qu'il existe un couple d'entiers (an;bn) tels que :
(1+2)^n = an + bn2.

Crois-tu qu'en écrivant (1+2)an+(2+2)bn de la sorte, tu es plus avancé ??

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : PGCD,système,matrice 30-07-21 à 09:01

Bonjour,
@leur2lapero,

Citation :
comment montrer qu'il existe deux réels an et bn
As-tu compris que ce sont des entiers que l'on veut pour an et bn ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !