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Niveau Licence Maths 1e ann
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Plan

Posté par
siezagaston
14-04-19 à 13:19

Bonjour, je suis bloqué sur cette exercice.

soit T le tétraèdre formé par les plan equations respectives x=0 ,y=0,z=0;
et x+y+z=1.
1-Représenter le tétraèdre T.
2-Déterminer son volume.
3-Calculer Z dx dy dz

Posté par
malou Webmaster
re : Plan 14-04-19 à 13:23

bonjour
tu as oublié de dire ce que tu avais fait, que trouves-tu ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Plan 14-04-19 à 13:27

Bonjour,
Bon, je suppose que tu as représenté le tétraèdre, c'est assez élémentaire.
2) le volume d'un tétraèdre ? tu te rappelles de la formule qu'on apprend au collège, non ?
(sinon tu peux aussi compléter la figure en formant le parallélépipède et compter le nombre de fois où l'on voit le tétraèdre dans le parallélépipède, mais on peut facilement se tromper)

Posté par
siezagaston
re : Plan 14-04-19 à 13:31

J'ai essayé de representer le tétraèdre mais  Je ne comprends pas les équation du plan.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Plan 14-04-19 à 13:40

un plan qui coupe les 3 axes à la valeur 1 c'est facile à visualiser
Plan

Posté par
siezagaston
re : Plan 14-04-19 à 13:47

Si je comprend bien x+y+z=1  ne correspond pas à l'équation d'une droite

Posté par
Glapion Moderateur
re : Plan 14-04-19 à 14:08

Citation :
Si je comprend bien x+y+z=1 ne correspond pas à l'équation d'une droite

l'énoncé te dit que c'est l'équation d'un plan !

tu ne sais pas que dans l'espace à 3 dimensions, les plans ont des équations de la forme ax+by+cz+d = 0 ? il était temps de faire cet exercice !

Posté par
siezagaston
re : Plan 14-04-19 à 14:32

cette équation a trois solution A(0,1,0) ,B(0,0,1) ,c(1,0,0).
On peut utiliser ces coordonnées pour calculer le volume non.

Posté par
carpediem
re : Plan 14-04-19 à 14:52

salut

c'est quoi le Z majuscule dans la question 3/ ?

Posté par
siezagaston
re : Plan 14-04-19 à 15:08

Non ces z

Posté par
Glapion Moderateur
re : Plan 14-04-19 à 15:27

Citation :
cette équation a trois solution A(0,1,0) ,B(0,0,1) ,c(1,0,0).

heu non pas vraiment, disons que l'intersection du plan d'équation x+y+z=1 avec les axes se font suivant ces 3 points.

Citation :
On peut utiliser ces coordonnées pour calculer le volume non.

oui. Quelle formule donne le volume d'un tétraèdre ?

Posté par
carpediem
re : Plan 14-04-19 à 15:29

le volume v = d'un tétraèdre est connu depuis le collège ... mais pour s'amuser avec des intégrales : v = \int_0^1 \left( \int_0^{1 - z} \left( \int_0^{1 - x - z} dy \right) dx \right) dz ... sauf erreur

quant à 3/ c'est alors : v = \int_0^1 \left( \int_0^{1 - z} \left( \int_0^{1 - x - z} z dy \right) dx \right) dz ou presque ...

Posté par
siezagaston
re : Plan 14-04-19 à 17:49

carpediem est-ce que vous pouvez explique cette formule .je n'arrive pas a comprendre les borne des intégral.

Posté par
siezagaston
re : Plan 14-04-19 à 17:53

Glapion  v=||AB^AC||*h

Posté par
Glapion Moderateur
re : Plan 14-04-19 à 17:58

Citation :
v=||AB^AC||*h


oui mais reste simple, 1/3 base x hauteur ça fait combien ? ça te servira à vérifier les calculs de ton intégral

Posté par
carpediem
re : Plan 14-04-19 à 18:20

dans le plan z = k pour k variant de 0 à 1 on a une surface qui est un triangle rectangle de côté adjacent à l'angle droit de dimension x et y

or si z = k alors x varie de 0 à 1 - z = 1 - k et y varie de 0 à 1 - z - x

donc l'aire du triangle rectangle est \int_0^{1 - z} \int_0^{1 - z - x} dy dx

car ce triangle est lui_même la "somme" des segments de longueur y = 1 - z - x

et le tétraèdre est la "somme" ou l'empilement des triangles (imagine un plat de crêpes les unes sur les autres qui forment un cylindre)

Posté par
siezagaston
re : Plan 15-04-19 à 10:16

Bonjour
Glapion comme la base est une triangle rectangle donc on a v=1/6u.v

Posté par
Glapion Moderateur
re : Plan 15-04-19 à 11:16

donc tes calculs d'intégrales pour le volume doivent te donner 1/6.



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