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Plan et droite

Posté par
lolo5959
14-04-08 à 17:14

Bonjour à tous

Je prépare une leçon concernant les droites et plans de l'espace et je suis coincée dans une preuve:

Soit un plan P(A,\vec{u},\vec{v})et une droiteD(B,\vec{w})

On dit que Pet Dsont parallèles si le vecteur \vec{w}est combinaison linéaire de \vec{u}et \vec{v} (C'est la définition que j'ai prise )

Puis j'énonce la théorème:

Pet Dsont parallèles si et seulement si D \subset Pou D \cap P =\empty

Pour la preuve, j'ai réussi à montrer le sens direct( Pet Dsont parallèles => D \subset Pou D \cap P =\empty) mais je bloque à la réciproque...
Je ne vois vraiment pas comment je peux montrer cela (en fait j'ai tout essayé et je n'arrive à rien...)

Donc si quelqu'un voyait comment faire, ça m'arrangerait pas mal!

Merci pour votre aide!

lolo

P.S:je reste à un niveau lycée/1ère année licence, donc je ne parle pas de sous espaces affines et tout ....

Posté par
sloreviv
re : Plan et droite 14-04-08 à 17:54

si D\subset Palors en prenant un deuxième point de D noté C ; B et C sont dans le plan P
donc ils ont des coordoonees dans le repere (A,\vec u,\vec v)donc \vec{BC}
qui est colineaire à \vec w
est une combinaison lineraire de \vec u,\vec v
donc c'est bon

Si D\cap P=\emptysetalors traçons
la droite D'de vecteur directeur \vec wpassant par A , elle est parallèle à Det forme avec Dun plan P1et l'intersection P1\cap P=D''
droite passant par A dont le vecteur directeur \vec w1
est combinaison lin'eaire de \vec u,\vec v

si D''ne rencontre pas  Ddans P1 elles sont parallèles donc meme vecteur directeur donc \vec w1comme \vec west combinaison lin'eaire de \vec u,\vec v

si D'' rencontre  Den E alors E serait dans P et D contradiction

Posté par
sloreviv
re : Plan et droite 14-04-08 à 17:55

bonjour!!

Posté par
lolo5959
re : Plan et droite 14-04-08 à 18:54

Bonjour sloreviv!

Merci beaucoup pour ta réponse!
Je trouve ça assez puissant, je n'avais pas pensé à raisonner de cette façon!

Bonne soirée
lolo

Posté par
sloreviv
re : Plan et droite 14-04-08 à 20:21

et finalement en fait D'' c'est egal àD'



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