Niveau concours

Plan et droite

Posté par
lolo5959 14-04-08 à 17:14

Bonjour à tous

Je prépare une leçon concernant les droites et plans de l'espace et je suis coincée dans une preuve:

Soit un plan $P(A,\vec{u},\vec{v})$ et une droite $D(B,\vec{w})$

On dit que $P$ et $D$ sont parallèles si le vecteur $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (C'est la définition que j'ai prise )

Puis j'énonce la théorème:

$P$ et $D$ sont parallèles si et seulement si $D \subset P$ ou $D \cap P =\empty$

Pour la preuve, j'ai réussi à montrer le sens direct( $P$ et $D$ sont parallèles => $D \subset P$ ou $D \cap P =\empty$ ) mais je bloque à la réciproque...
Je ne vois vraiment pas comment je peux montrer cela (en fait j'ai tout essayé et je n'arrive à rien...)

Donc si quelqu'un voyait comment faire, ça m'arrangerait pas mal!

Merci pour votre aide!

lolo

P.S:je reste à un niveau lycée/1ère année licence, donc je ne parle pas de sous espaces affines et tout ....

Posté par re : Plan et droite 14-04-08 à 17:54

si $D\subset P$ alors en prenant un deuxième point de $D$ noté C ; B et C sont dans le plan $P$
donc ils ont des coordoonees dans le repere $(A,\vec u,\vec v)$ donc $\vec{BC}$
qui est colineaire à $\vec w$
est une combinaison lineraire de $\vec u,\vec v$
donc c'est bon

Si $D\cap P=\emptyset$ alors traçons
la droite $D'$ de vecteur directeur $\vec w$ passant par A , elle est parallèle à $D$ et forme avec $D$ un plan $P1$ et l'intersection $P1\cap P=D''$
droite passant par A dont le vecteur directeur $\vec w1$
est combinaison lin'eaire de $\vec u,\vec v$

si $D''$ ne rencontre pas $D$ dans P1 elles sont parallèles donc meme vecteur directeur donc $\vec w1$ comme $\vec w$ est combinaison lin'eaire de $\vec u,\vec v$

si $D''$ rencontre $D$ en E alors E serait dans $P$ et $D$ contradiction