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plans bissecteurs

Posté par Didi (invité) 12-01-04 à 18:38

Bonjour, j'ai un petit doute et vous pouvez peut être m'aider
J'ai fait un exercice a partir de 2 plans P et Q d'equation:
(P)    x + 2y-2z-1=0
(Q)   2x-y+2z+1=0
qui sont sécants (c'est facile)
On me demande de trouver les 2 plans consitutés des points à égale distance
de P et Q (plans bissecteurs) et de montrer qu'ils sont perpendiculaires.
OK
les 2 plans P' et Q' ont comme formule
(P') : -x +3y -4z-2 = 0
(Q'): 3x+y=0
P' et Q' sont biens perpendiclaires OK

ma question est : 3x+y =0 est elle bien une équation de plan car je
pensais qu'il s'agissait d'une équation de droite
??
Est ce parce nous sommes dans un repère à 3 dimensions qu'il s'agit
d'un plan ( quelque soit la valeur de z ) ?
- dans une repère à 2 dimensions 3x+y = 0 équation de droite?
- dans un repère à 3 dimensions 3x+y = 0  équation de plan?
C'est çà ????
C'est bête mais cela me rassurerait d'avoir votre aide


Didi

Posté par
watik
re : plans bissecteurs 12-01-04 à 21:11

3x+y = 0  est bien l'équation d'un plan.

pour l'exercice il serait plus simple si vous considérez les vecteurs
normaux n1 et n2 aux plans (P)x + 2y-2z-1=0 et (Q)2x-y+2z+1=0 respectivement.

ensuite vous remarquez que les deux plans bissecteurs P' et Q'
doivent contenir l'intersection des plan P et Q; à savoir la
droite:
x + 2y-2z-1=0
et
2x-y+2z+1=0

si u est un vecteur directeur de cette droite et A un point de cette
droite.
si vous normalisez les vecteur n1 et n2 par N1=n1/||n1|| et N2=n2/||n2||

alors N1+N2 est un vecteur qui appartient aux plan bissecteur P' et
N1-N2 est un vecteur qui appartient au plan bisecteur Q'.

en résumé:

P' est déterminé par (A,u, N1+N2) et
Q' est déterminé par (A,u, N1-N2)

vous n'avez plus qu'à faire les calculs:

det(AM,u,N1+N2)=0 est l'équation cartésienne de P'

et det(AM,u,N1-N2)=0 est l'équation cartésienne de Q'

moi j'ai trouvé pour P':

x-3y+4z+12/5=0.

à vous de continuez.

bon courage et je vous remercie.





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