Bonjour
à quelle condition ax+by+cz+d=0 est -elle une équation de plan ? là est la question ....

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Bonsoir chers matheux .. Voici quelques questions qui me hantent :: on donne d abord PM: (2m-1)x+(2-m)y-(m+1)z+m+1=0
1) montrer que pour tout m Pm est une droite
2) montrer que tous les Pm  contiennent une droite fixe  dont l on déterminera l équation .
Merci

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Je pense lorsque au moins l un des a,b,c est non nul

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Bonsoir,

1) pour tout m, P_m n'est pas une droite mais un plan

2) méthode :
- choisir 2 valeurs de m simplifiant bien l'équation de P, par exemple m = 2 et m = -1
- trouver la droite d''intersection de P₂ et P_-1, soit D
- montrer qe D appartient à tout plan Pm

oui, donc question : a, b et c peuvent-ils être tous nuls simultanément ?....

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Non bien évidemment ..mais je n avance pas

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Pas du tout évident merci déjà pour cet indice

Si ça peut t'aider, exprime la droite D telle que définie dans mon post sous forme paramétrique

Les coordonnées (x; y; z) des points de cette droite fixe doivent vérifier l'équation du plan quel que soit la valeur de  m .
Pour trouver à quelles conditions cela peut se produire, ordonne les termes de l'équation du plan suivant les termes en  m  et les termes constants pour obtenir une équation de la forme  Am + B = 0 .

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La première version était mieux recopiée !

variante : (2m-1)x+(2-m)y-(m+1)z+m+1=0 m(2x-y-z+1) +(-x+2y-z+1) = 0
la droite qui est dans tous les plans à la fois est donc définie par les deux équations de plans :
2x-y-z+1 = 0
-x+2y-z+1 = 0