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Niveau Maths sup
Plus grand commun diviseur
Posté par 
Ramanujan
RamanujanBonsoir,
Je ne comprends pas le passage en rouge :
Soit 2 entiers naturels non tous les 2 nuls.
Par définition est le plus grand élément de
au sens de l'ordre naturel
de
.
Mais comme les diviseurs positifs communs à et
sont exactement les diviseurs positifs de
, le PGCD de
et
est aussi le plus grand au sens de la divisibilité des diviseurs positifs communs à
et
.
Si , parmi les diviseurs communs à
et
, il n'en existe pas de plus grand pour l'ordre naturel
, mais 0 est bien le plus grand d'entre eux pour la relation de divisibilité.
Tout entier naturel divise 0.
Donc, pour la relation d'ordre naturelle sur (
), l'ensemble des diviseurs de 0 est non borné.
En revanche, pour la relation d'ordre partielle induite sur par la divisibilité (où
), 0 est comparable à tout entier naturel, et plus grand que tous.