Bonjour
Je n'arrive pas aboutir à la fin de cet exercice:
k étant un entier relatif, on pose:
x=2k-1 et y=9k+4
1/Montrer que tout diviseur commun à x et y divise 17.
2/En déduire, suivant les valeurs de k, le plus grand diviseur commun de x et y.
1/4(2k-1)+(9k+4)=17k
Soit d un diviseur commun à x et y.
d divise x et d divise y donc d divise toute combinaison linéaire de x et y donc d divise 17k, donc d divise 17.
2/On sait que d divise 17. Or 17 est un nombre premier donc 17 n'admet pour seuls diviseurs que 1 et lui-même.
Donc soit d=1 soit d=17.Il faudrait donc trouver les valeurs de k tel que d=1 et ensuite les k tel que k=17.
En calculant tour à tour x et y selon des valeur de k entre 0 et 15, je me rend compte qu'une seule valeur convient pour que d=17, k=9. J'ai donc plutôt envie de chercher à prouver que cela est vraie seulement pour cette valeur. Pour cela, je me dis que puisque d divise x, y et 17 alors x et y doit diviser 17 (est ce que j'ai le droit?):ce qui me donne 2k-1=17q (q entier relatif), et 9k+4=17q' ( q' entier relatif).Et je trouve k=9! Super!
Seulement, en farfouillant un peu plus (eh oui quand on est pas expert en arithmétqiue on est réduit à farfouiller)je me rend compte qu'une autre
valeur de k convient, k=27. Que faire? Surtout que je ne vois pas quel est la rapport avec 9 mise a part que 27 est un multiple de 9 ( et ja'i essayé pour de nombreux multiples de 9 et aucuns ne convenaient)
Quelqu'un aurait une petite idée pour me mettre sur la route?
2/
question 1 faux,si k = 2, 2 divise 34= 2 * 17 mais ne divise pas 17,il faut ajouter une conditiondu style d ne peut pas diviser k (sinon x et y diviserait aussi ce nombre)
Pour la question 2 tu as de bonnes idées essaye d'exprimer k en fonction de q et q' ça pourrait déjà te donner une idée des valeurs de k qui marchent
Bonsoir,
1) Soit un diviseur commun à et , alors, divise
2) Ainsi ou
Si , 17 divise
Il existe donc entier tel que
Alors, est nécessairement impair (sinon, est pair)
Il existe donc entier tel que
d' où , ou bien
On a démontré l' implication:
Réciproquement, si
Alors,
et
donc
D' où l' équivalence:
et si , : et sont premiers entre eux.
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