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plus grand diviseur commun
Bonjour, j'ai du mal à résoudre cette exercice puisque je viens de m'initier à l'arithmétique. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
n est un entier naturel non nul
montre que: PGCD( (5n3-n); (n+2) ) = PGCD( (n+2); 38 )
Merci d'avance 
Salut,
Pas facile, meme en TS spe. Ca depend de ce que tu connais.
Tu pourrais par exemple utiliser la methode de la division euclidienne vue en 3e. Pour cela il faudrait que tu saches diviser des polynomes meme si c'est hors programme. Ce n'est pas tres difficile et tu peux sans doute trouver des trucs sur le site.
Cela permet de montrer que 5n3-n=(n+2)(5n2-10n+19)-38 et alors apres c'est assez rapide.
Bonjour,
Quand on travaille avec des polynômes, c'est le degré qui a une contrainte dans le reste.
Ici n+2 est de degré 1 . -38 est bien un polynôme de degré inférieur à 1
On peut, en terminale et même en première, trouver une forme P(x) = (x-a)Q(x) + c , P et a étant donnés.
c = P(a) et ensuite on factorise P(x) - P(a) par sa méthode préférée.
Ici P(n) = 5n3-n , P(-2) = -38 .
P(n) -(-38) = 5n3-n +38 se factorise par (n+2) .
salut
TheMathHatter a fait une division ... pas la division euclidienne ...
(suite au msg de Sylvieg)salut
si on pose A = 5n3-n et B = n+2
alors pgcd(A,B)= pgcd( B.Q + R , B ) = d (avec A = B.Q + R et deg(R) < deg(B)) alors
comme d divise B.Q + R et d divise B alors forcement d divise R donc
pgcd(A,B)=pgcd(B,R)
random est-ce que tu as trouve cette question telle quelle ? si je l'avais donne a mes TS j'aurais donne une question faisant travailler avec le polynome 5x3-x+38 donne par Sylvieg
salut
si on pose A = 5n3-n et B = n+2
alors pgcd(A,B)= pgcd( B.Q + R , B ) = d (avec A = B.Q + R et deg(R) < deg(B)) alors
comme d divise B.Q + R et d divise B alors forcement d divise R donc
pgcd(A,B)=pgcd(B,R)
il n'y a aucune condition sur Q et R (exepté le fait que A = BQ + R) :
pour tout polynome Q et R tels que A = BQ + R : pgcd (A, B) = pgcd(BQ + R, B) = pgcd (R, B)
car si un diviseur d divise A et B il divise toute combinaison linéaire de A et B
et ce qui est vrai pour tout diviseur est vrai pour un diviseur : à savoir le plus grand
D'accord avec TheMathHatter pour que la question soit précédée de quelque chose.
Par contre, les autres messages ne sont pas très clairs pour un novice.
En terminale, il y aura dans le cours, pour les entiers naturels, la propriété citée par carpediem . On l'appelle souvent lemme d'Euclide :
Si A = BQ +R alors pgcd(A,B)= pgcd( B , R ) .
Seules conditions avec A et B non nuls : R non nul.
Pour la démontrer il faut une équivalence, et pas seulement un " si ... alors ".
d divise BQ+R et B 
d divise B et R .
On peut alors affirmer que l'ensemble D des diviseurs de B et R est égal à l'ensemble E des diviseurs de BQ+r et R .
Ce qui permet d'affirmer ensuite que le plus grand élément de D est égal au plus grand élément de E .
Coquille :
On peut alors affirmer que l'ensemble D des diviseurs de B et R est égal à l'ensemble E des diviseurs de BQ+r et B .
l'équivalence est une évidence toujours grace à la première propriété de combinaison linéaire : les diviseurs de BQ + R et B sont les diviseurs de B et R et réciproquement
mais il faut bien sur le démontrer proprement ...
R peut très bien être nul : si A = BQ + 0 alors pgcd (A, B) = pgcd (B, 0) = B ... à une constante multiplicative près puisque 2B divise B dans
bonsoir
peut-être faudrait-il résoudre la question :
établir que pour tout (
,
,
)
3,
pgcd(,)=pgcd(,-)
pour montrer :
montre que: PGCD( (5n^3-n); (n+2) ) = PGCD( (n+2); 38 )
suggestion
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