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Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n

Posté par
AnasELMALEKI 09-07-14 à 07:27

Bonjour ,

J'ai un peu de mal sur un concours , sa serai sympathique si vous pouvez m'aider  

Voici l'énoncé :

n étant un entier naturel, n\ge1, on note pour x > 0, P_{n}(x)=-1+x+x^2+...+x^n=-1+\sum_{i=1}^n x^i

1) Montrer que l'equation : x > 0, P_{n}(x)=0 admet une unique solution x_{n} et que 0\le x_{n} \le1 .

2) Montrer que la suite (x_{n}) est decroissante et qu'elle converge.
Soit l =\lim_{n\to +\infty} x_{n}.

3)a) Prouver que \forall n\ge2  0 < x_{n} \le x_{2} < 1.
En deduire que \lim_{n\to +\infty} (x_{n})^{n+1} = 0.

3)b) Montrer que l = 1/2.

4)a) En posant x_{n} = 1/2 + \epsilon_{n}, montrer que \lim_{n\to +\infty} (n+1)\epsilon_{n} = 0.

4)b) En déduire que x_{n} - 1/2 ∼+∞ (1/2)^{n+2}.

Je suis bloqué a partir de 3)b), j'ai essayé de faire un développement limité ( \frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i + \epsilon_{n} ) le resultat etait x_{n} = 1/2 ca veut dire que (x_{n}) est constante ce qui est faux   merci d'avance de votre aide

Posté par
LeHiboure : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 09:01

Bonjour,

On calcule explicitement Pn(x), et on obtient :
Pn(x) = (-1+2x-xn+1)/(1-x)
Et donc, en xn on a -1+2xn-xnn+1 = 0
On passe à la limite, on applique 3,a), et on obtient -1+2l = 0

Posté par
AnasELMALEKIre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 10:31

merci pour votre reponse mais j'ai pas compris comment vous avez ecrit " Pn(x) = (-1+2x-xn+1)/(1-x) "

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 12:09

Bonjour,
la somme x+x2+x3+...+xn est celle de n termes successifs d'une suite géométrique ; pour x1 tu peux l'écrire (1-xn ) / (1-x) .

Posté par
LeHiboure : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 12:10

Le calcul de la somme x + x²+...+xn est du programme de terminale...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 12:13

J'ai oublié quelque chose : x+x2+x3+...+xn = x (1-xn ) / (1-x) .

Posté par
LeHiboure : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 12:13

Correction à Sylvieg :
x+x²+...xn = x(1+x+...+xn-1) = x(1-xn)/(1-x) = (x-xn+1)/(1-x)

Posté par
LeHiboure : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 12:13

Ah oui c'est mieux

Posté par
AnasELMALEKIre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 18:18

Merci bien

Posté par
AnasELMALEKIre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 19:17

J'aimerais bien des indices pour les 2 questions restantes !!

Posté par
carpediemre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 09-07-14 à 20:39

salut

x = \dfrac 1 2 + e ... je n'écris pas les indices ...

or   x^{n + 1} - 2x + 1 = 0 <=> (\dfrac 1 2 + e)^{n + 1} + 2e = 0

on développe avec le binome de Newton pour faire apparaître (n + 1)e .... et puisque le membre de gauche tend vers 0 ...

et on répond ensuite immédiatement à 4b ....

Posté par
Razesre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 10-07-14 à 12:18

4-b)
Nous avons: x_{n}^{n+1}-2x_{n}+1=0

En remplaçant x_{n} par \frac{1}{2}+\epsilon_{n} dans l'équation précédente nous obtenons:

\left ( \frac{1}{2}+\epsilon_{n} \right)^{n+1}-2\epsilon_{n}=0 \Leftrightarrow \epsilon_{n}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}+\epsilon_{n} \right)^{n+1}

D'où la relation en sortant \frac{1}{2} nous obtenons :
\epsilon_{n}=x_{n}-\frac{1}{2}=\left (\frac{1}{2} \right )^{n+2}\left (1+2\epsilon_{n}\right)^{n+1}

Nous avons 2\epsilon_{n}\ll 1 quand n\rightarrow +\infty

Donc nous aurons x_{n}-\frac{1}{2} \sim \left (\frac{1}{2} \right )^{n+2} quand n\rightarrow +\infty \\

CQFD

Bon Ramadan

Posté par
carpediemre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 10-07-14 à 13:06

oui c'est plus mieux bien développer mon idée ....

Posté par
Razesre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 10-07-14 à 13:52

Merci

Posté par
AnasELMALEKIre : Pn(x) = -1 + x + x^2 + ... + x^n 10-07-14 à 20:24

BOn ramadan  vous aussi
Merci

Posté par
geogeosNe revez pas trop.... 27-08-15 à 14:38

Bonjour !
Je sais que le post est un peu vieux mais je tiens quang même à le corriger. La démo qui est présente ci dessus est fausse. Je m'explique :
Ce n'est pas parce que 2n=o(1) que (1+n) n 1. Comme contre-exemple, on peut remarquer que (1+1/n) n e.
La réponse nécessite qu'on utilise la question 4)a), autrement dit le fait que n=o(1/n)

En espérant avoir été utile à quelqu'un

Geogeos


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