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Niveau maths spé
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Point critique

Posté par
Sundae
30-04-17 à 16:05

        Bonjour

f(x,y) = xy(x+y-1)

Déterminer l'ensemble des points critiques de f

J'ai trouver (0,0) (1,0) (0,1) (1/3,1/3) mais je ne sais pas si il y'en a d'autres

merci

Posté par
ThierryPoma
re : Point critique 30-04-17 à 16:27

Bonsoir,

f\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=x^2\,y+x\,y^2-x\,y

D'où,

\partial_1\,f\left(\begin{array}{c}a\\b\\\end{array}\right)=2\,a\,b+b^2-b\text{ et }\partial_2\,f\left(\begin{array}{c}a\\b\\\end{array}\right)=a^2+2\,a\,b-a

Les points critiques sont donnés par

\partial_1\,f\left(\begin{array}{c}a\\b\\\end{array}\right)=\partial_2\,f\left(\begin{array}{c}a\\b\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\\end{array}\right)

Partant,

a=0\Rightarrow(b=0\text{ ou }b=1)
b=0\Rightarrow(a=0\text{ ou }a=1)
(a\ne0\text{ et }b\ne0)\Rightarrow\left\{\begin{array}{llllll}2\,a&+&b&=&1\\a&+&2\,b&=&1\\\end{array}\right.\Leftrightarrow(\cdots)

Posté par
Sundae
re : Point critique 30-04-17 à 17:14

Il n'ya donc pas d'autres points critiques que celles dont j'ai trouver Thierry ?

Posté par
ThierryPoma
re : Point critique 30-04-17 à 17:17

Je n'en vois aucun autre ! Pourquoi une telle question ?

Posté par
Sundae
re : Point critique 30-04-17 à 17:26

Je n'étais pas sur de mon résultat

Posté par
ThierryPoma
re : Point critique 30-04-17 à 17:29

Je suppose que la suite est de voir si l'un de ces points peut être un extremum (local ou global) de la dite fonction.

Posté par
Sundae
re : Point critique 30-04-17 à 17:39

La suite est : Etudier les limites de f(x,x) quand x tend vers +inf et -inf. Que peut-on en déduire en terme d'extremum sur R^2

Posté par
Sundae
re : Point critique 30-04-17 à 17:40

Ma réponse : Lorsque x tend vers +infini f tend vers +inf et lorsque x tend vers -inf f tend vers -inf il ne peut pas y avoir d"extremum global sur R^2

Posté par
ThierryPoma
re : Point critique 30-04-17 à 17:41

Et alors ? Qu'as-tu répondu ?

Posté par
ThierryPoma
re : Point critique 30-04-17 à 17:50

Ok ! Et la suite de l'énoncé ?

Posté par
carpediem
re : Point critique 30-04-17 à 17:55

Sundae @ 30-04-2017 à 17:40

Ma réponse : Lorsque x tend vers +infini f tend vers +inf et lorsque x tend vers -inf f tend vers -inf il ne peut pas y avoir d"extremum global sur R^2
faux !!

f(x, -2) tend vers -oo quand x tend vers +oo ...

Posté par
ThierryPoma
re : Point critique 30-04-17 à 17:57

@Carpi : As-tu lu tous les messages, dont celui du 30-04-17 à 17:39 ?

Posté par
carpediem
re : Point critique 30-04-17 à 17:59

ha pardon j'ai mal lu f(x, x) ...

Posté par
Sundae
re : Point critique 30-04-17 à 18:07

ThierryPoma @ 30-04-2017 à 17:50

Ok ! Et la suite de l'énoncé ?


Il n'y a pas de suite à l'énoncé



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