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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Point d'inflexion

Posté par
Bastien51
11-03-20 à 18:40

Bonjour,

Soit (I,f) un arc paramétré et p=f(t) un point de cet arc.

Dans la définition du point d'inflexion, on dit que si f'(t) et f''(t) (ce que j'interprète comme étant la vitesse et l'accélération d'un mobile sur l'arc) sont linéairement dépendants (ce que j'interprète comme ayant la même direction)  alors p est un point d'inflexion (par opposition à un point birégulier).

Or, ce que j'avais appris jusqu'ici disait qu'un point d'inflexion consistait au point pour lequel f''(t) = 0, c'est à dire le point où la vitesse (les tangentes à la courbe) commence à croître ou décroître.

Je ne vois pas le lien entre ces deux définitions ?
Si f'(t) et f''(t) sont linéairement dépendant alors f''(t) n'est pas nul (?)

Posté par
carpediem
re : Point d'inflexion 11-03-20 à 18:51

salut

sauf qu'il y a une différence entre une courbe paramétrée et pas paramétrée !!!

ainsi dans le plan :

courbe d'équation cartésienne y = f(x) (sur un intervalle) donnée par la fonction t --> f(t)

courbe paramétrée donnée par la fonction f (sur un intervalle dans R2 : t--> (x(t), y(t))

le vecteur vitesse est donc (x'(t), y'()) et le vecteur accélération est (x''(t), y''(t))

ce n'est donc pas la même chose ...

Posté par
carpediem
re : Point d'inflexion 11-03-20 à 18:54

carpediem @ 11-03-2020 à 18:51

salut

sauf qu'il y a une différence entre une courbe paramétrée et pas paramétrée !!!

ainsi dans le plan :

courbe d'équation cartésienne y = f(x) (sur un intervalle) donnée par la fonction t --> f(t) : l'ordonnée (d"un point de la courbe) est fonction de l'abscisse

courbe paramétrée donnée par la fonction f (sur un intervalle dans R2 : t--> (x(t), y(t)) : l'abscisse et l'ordonnée sont fonction d'un paramètre

le vecteur vitesse est donc v(t) = (x'(t), y'(t)) et le vecteur accélération est a(t) = (x''(t), y''(t))

ce n'est donc pas la même chose ...

et effectivement un point d'inflexion apparaît quand v et a sont colinéaires (et intuitivement on le sent bien quand on sait ce que veut dire un point d'inflexion)

Posté par
Bastien51
re : Point d'inflexion 11-03-20 à 19:04

Bonjour carpediem

Oups en effet ce n'est pas pareil du tout !

Néanmoins j'ai encore une petite interrogation plus schématique : comment interprète-t-on physiquement le fait que la vitesse et l'accélération soient linéairement dépendants implique l'inflexion ?

Je dirais que le mobile va de plus en plus vite dans la même direction direction mais cela n'implique pas (?) un changement de concavité/convexité ?

Merci pour la réponse en tout cas !

Posté par
XZ19
re : Point d'inflexion 11-03-20 à 19:32

Bonjour  
Une  vitesse  et une accélération  n(implique pas une inflexion.
Même  pour  une fonction  y=f(x) avec  f''(x_0)=0 n'implique pas une inflexion en x_0.  

Exemple  f(x)=x^4,  f''(0)=0   et pourtant il n'y a pas d'inflexion.  

Posté par
XZ19
re : Point d'inflexion 11-03-20 à 19:33

vitesse +  accélération  colinéaires  implique  inflexion:  faux.

Posté par
carpediem
re : Point d'inflexion 11-03-20 à 20:01

effectivement ce sont des conditions nécessaires !!

oui dans tous les cas un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité ...

dans le cas x --> y = f(x) la dérivée seconde doit s'annuler en changeant de signe

on a donc un "analogue" pour une courbe paramétrée : la famille (v, a) passe de libre lié libre en "changeant d'orientation" ...



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