Que trouves tu si tu prends f(x) = -1/x^2 et a = 0 ?

Pardon double post, je voulais dire
f définie par f(x) = -1/x^2 sur R* et f(0)=0

Bonsoir
En , on trouve
En , on trouve

Raah je ne devrais pas poster à minuit, je n'écris que des bêtises, je voulais dire -1/x à la place de -1/x^2, désolé.

Dans le même genre, tu as ln|x|.
Ce que je voulais te faire voir, c'est que si la fonction est assez régulière (tu ne précises pas à quel point dans ton énoncé) pour parler d'inflexion, il n'y a pas 36 façons d'avoir un changement de concavité autour d'une asymptote verticale avec discontinuité.
Comme tu peux le voir sur cet horrible dessin à souris levée sur paint, si la fonction est concave d'un côté et convexe de l'autre, difficile de raccorder correctement les queues autour de l'asymptote.


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Pour en revenir à l'énoncé, si je fais le calcul avec f(x) = -1/x et f(0) = 0

(f(x) - f(a))/(x-a) = f(x)/x = -1/x² pour tout x non nul. La limite en 0+ et  en 0- est -∞

Donc cette fonction f vérifie les hypothèses de l'énoncé et change de convexité de part et d'autre de l'asymptote. Pourtant, on ne peut pas parler selon moi de point d'inflexion, puisqu'on a artificiellement donné à 0 une image.

C'est différent de ce qui se passe avec la fonction , qui est bien définie sur tout entier. Dans ce cas, le taux d'accroissement vérifie toutes les hypothèses et on a un vrai point d'inflexion, sans rupture de continuité.


La réponse à la question que tu poses dépend de ta définiton d'un point d'inflexion. Pour moi, le premier exemple n'en est pas un alors que le second, si

salut

on peut prendre plus simplement qui a le bon goût d'exister en 0 sans imposer une valeur artificielle ...

et j'y verrai alors plutôt un point de rebroussement :

Bonjour carpediem,
Il me semble que pour les quotients de variation, on a ceci :
en .
en .
Or il faut des deux côtés.

ha oui ! merci Sylvieg

j'ai alors pensé à mais la limite est 0 des deux côtés

puis à mais cette fois la limite est des deux côtés ... mais peut-être que cela peut tout de même intéresser smir : même limite infinie des deux côtés !!

en tout cas dans ces deux cas on a bien un point d'inflexion !! (ouf je réponds à sa conclusion )