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point dans un triangle

Posté par marion (invité) 06-05-04 à 21:09

Bonjour à tous
comment démontre-t-on que un point est dans un triangle ABC ssi c'est
le barycentre da A,B,C affectés chacun de poids positif?

merci

Posté par (invité)re : point dans un triangle 07-05-04 à 15:32

c'est une double équivalence
de la droite vers la gauche c'est trivial: utilse les barycentres
partiels
de la gauche vers la droite c'est un peu plus compliqué, faut que
je réfléchisse un peu et te fait part de la réponse d'ici  peu

Posté par
muriel Correcteur
re : point dans un triangle 07-05-04 à 17:34

(je n'écris pas vecteur pour alléger l'écriture)
de la gauche vers la droite, il suffit de prendre l'intersection
N de (AM) et (BC) où M est le point dans le triangle.
M appartient au [AN] car M est dans le triangle, donc M est un barycentre
de (A,a) et (N,n) où a>0 et n>0, c à d
a MA+n MN=0
N appartient au [BC], car M est dans le triangle. donc N est un barycentre
de (B,b) et (C,c) où b>0 et c>0, c à d
b NB+c NC=0
en introduisant M par Chasles on a:
b MB+c MC=(b+c) MN
d'où
n*b MB+ n*c MC=n*(b+c) MN
et a*(b+c) MA+ n*(b+c) MN=0
c'est à dire a(b+c) MA+nb MB+ nc MC=0
M est le barycentre de (A,a(b+c)) , (B,nb) , (C,nc) où les coefficient
sont positifs.

Posté par marion (invité)re : point dans un triangle 07-05-04 à 19:23

merci à tt les 2



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