Je te retourne la question , peux-tu me donner une fonction continue de [0;1] dans lui même , symétrique par rapport à (0,5;0,5) qui ne commute pas avec 1-x ?

Imod

Pas d'accord,


Tu nous dis "il existe sur R un ensemble non dénombrable de fonctions qui commutent
avec 1-x ,
lesquelles?



Alain

"Une valeur d'adhérence de la suite (gn(a)) où a est un point fixe de f est-elle point fixe de g ?"

A la réflexion c'est faux . Il ne faut pas oublier que dans la première partie de la deuxième démo on suppose que f et g n'ont pas de point commun .

On peut prendre g(x)=1-x , f(x)=x et a=0,4 . Les deux valeurs d'adhérence de gn(a) ne sont pas des points fixes de g .

Imod

nous avions tous raison puisque la suite converge et n'a qu'une valeur d'adhérence : sa limite ....

Bonsoir,
pour répondre à la question d'Alain

@Carpediem : nous sommes bien sûr d'accord que si converge vers alors est un point fixe pour continue . Persistes-tu à déclarer que la première démonstration est juste ?

Imod  

Bonjour,


Le point x=1/2 n'a absolument rien de particulier dans
ce problème.
Nous pouvons considérer le cas de fonctions égales:


dont les points fixes peuvent être proches de 0 ou 1 ,



Alain

à imod :: oui puisque je prends des éléments dans un ensemble vide ... ils vérifient donc trivialement la propriété .....

Tu ne peux aussi admettre tout simplement que tu as répondu un peu vite et que ta première démo est fausse

Imagine quelque L1-L2 tombant sur ce fil et relis tes réponses depuis le début , aucun argument , des sentences non justifiées et un tir en touche pour finir : que vont-ils en penser ? On fait tous des erreurs,  moi en premier ( à haute dose ) , je n'ai aucune honte à les reconnaitre .

Imod  

@alainpaul
j'ai essayé de répondre à ta question sur les fonctions commutant avec .

Je ne prétend pas avoir donné toutes ces fonctions.

Mais j'en ai donné une infinité non dénombrable.

J'ai la désagréable impression que ton dernier messages relève de la mauvaise foi.
Mais je peux me tromper, ça m'arrive souvent.

Bonjour,


C'est très simple ,je ne comprends pas du tout vos démonstrations ;
je touche ici mes limites,voilà.


Deux choses:
1) en clair ,donne moi des exemples de fonctions continues autres que x et 1-x
qui commutent avec 1-x,

2) le fait que les fonctions g et f soient de [0,1] sur [0,1] et continues
implique que toute composition de g et f  - Ex.  f o g o f - hérite
de ladite propriété,


Amicalement,
Alain

@AlainPaul

il me semble qu'on avait déjà décrit l'ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même qui commutent avec g(x)=1-x . Tu peux déjà en récupérer une infinité non dénombrable en prenant les fonctions affines avec .

Imod

Bonjour,


Les itérées entières de la fonction h(x)= ax+b commutent


pour h(x)=1-x nous avons:


Extension possible à des itérées complexes:


En posant ,a et a' réels

Nous obtenons g(x)=a(x-1/2)+1/2 , f(x)=a'(x-1/2)+1/2
deux fonctions qui commutent.


Je retrouve bien la même chose,
mais la fonction f(x) disons pour a=1/3 soit


ne décrit pas  "l'ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même".


J'aimerais que tu me répondes aussi sur le point 2)


Amicalement,

Alain

@Alain:

Bon,


Je voulais que tu me confirmes ce point.

Comme pour g et f nous pouvons dire que les fonctions continues gf et fg
ont des points fixes?



Alain

Bonne fin de semaine,


Je souhaite ta réponse,

N'y aurait-il alors pas une preuve plus simple?



Alain

@Alain

Ne le prend pas mal

Globalement je ne comprends pas tes questions et je ne crois pas être le seul . Essaie d'utiliser des notations standard ou bien explique précisément ce qu'elles veulent dire

Une preuve plus simple de quoi ?????????

Imod

Bon dimanche,


Mon propos est des plus simples; si les conditions de l'énoncé nous
permettent de dire que les fonctions f, g, gf  et  fg admettent toutes
un point fixe , alors

...

**Une preuve de l'existence d'un point fixe commun à gf et fg **

Alain

Si on ne doit pas trop peiner à trouver une point fixe commun à et , non ?

Imod

Bonjour,

D'accord,nous pouvons donc affirmer qu'il existe 3 points x₁,x₂,x₃
tels que:
Ces points pouvant être confondus.

Je souhaitais me rendre compte des propriétés que recèle l'énoncé.


Ce qui n'est pas dans l'énoncé ,à part la continuité  c'est l'allure' des fonctions f et g ,
sont elles très agitées,coupent-elles un nombre limité de fois l'axe y=x ?


Alain

@Alain ,

tu as beaucoup de questions mais tu ne lis pas vraiment les réponses ( c'est passablement agaçant ) . On peut pratiquement faire n'importe quoi avec les fonctions f et g , je t'ai proposé g(x)=1-x pratiquement au hasard ensuite tu prends n'importe quelle fonction f , tordue autant que tu veux mais continue de [0;1] dans lui même et symétrique par rapport à I(0,5;0,5) et tu disposes d'un couple (f,g) qui satisfait aux conditions .

Imod  

En complément de ce qu'on dit Imod et Verdurin:

Si est une fonction continue quelconque, alors la fonction

où est continue, telle que , et pour tout (avec )

Donc on peut éliminer déjà beaucoup d'autres propriétés que l'on voudrait démontrer... Par exemple, les hypothèses n'impliquent pas la dérivabilité: prendre la fonction de Weierstrass (qui est déjà bien biscornue...) pour .

errata:

Bonjour,


Pourquoi donner tant d'importance à la valeur moyenne
de l'intervalle [0,1]  : 1/2 ?


Alain
Point fixe mais point idée fixe!

Le vient du choix (particulier) ....
En prenant , alors n'importe quelle fonction convient et n'a plus aucun intérêt particulier...